1) \(1019x^2+18y^4+1007z^2\)

\(=\left(15x^2+15y^4\right)+\left(3y^4+3z^2\right)+\left(1004x^2+1004z^2\right)\)

\(\ge2\sqrt{15x^2.15y^4}+2\sqrt{3y^4.3z^2}+2\sqrt{1004x^2.1004z^2}=30xy^2+6y^2z+2008xz\left(đpcm\right)\)

2) A = n³ - n² + n - 1

A = n²(n - 1) + (n - 1)

A = (n - 1)(n² + 1)

Để A nguyên tố thì n > 1

=> n² + 1 > 1

Mà A = (n - 1)(n² + 1) là số nguyên tố, chỉ gồm 2 ước là 1 và chính nó

Nên A = n² + 1; n - 1 = 1

=> n = 2 (TM)

b) n⁵ - n + 2

= n(n⁴ - 1) + 2

= n(n² - 1)(n² + 1) + 2

= n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) + 2

n(n - 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp do n \(\in N\) nên n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 3

=> n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) + 2 chia 3 dư 2, không là số chính phương

Vậy ...

\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)

=> \(\dfrac{abc}{ac+bc}=\dfrac{abc}{ab+ac}=\dfrac{abc}{bc+ab}\)

=> ac + bc = ab + ac = bc + ab (do abc \(\ne0\))

=> ac + bc - ab - ac = 0

=> bc - ab = 0

=> b(c - a) = 0

Mà b \(\ne0\) nên c - a = 0 => c = a

Tương tự ta có: a = b

Từ đó có: a = b = c

Thay vào M được:

\(M=\dfrac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

x² + y = y² + x

<=> x² - y² + y - x = 0

<=> (x - y)(x + y) - (x - y) = 0

<=> (x - y)(x + y - 1) = 0

Mà x - y \(\ne0\) do x \(\ne y\) nên x + y - 1 = 0

=> x + y = 1

\(A=\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy-1}=\dfrac{\left(x+y\right)^2-2xy+xy}{xy-1}=\dfrac{1-xy}{xy-1}\)

\(=-1\)

a) +) ab = 0, bđt đã cho luôn đúng

+) ab \(\ne0\), bđt đã cho tương đương:

a⁶ + b²a⁴ + b⁶ + a²b⁴ \(\ge a^6+b^6+2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow b^2a^4+a^2b^4\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\), luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b) tương tự

Đề sai, tỉ lệ nghịch ... ms đúng

Gọi số cần tìm là ab (a;b là các chữ sốkhác 0)

Không mất tính tổng quát giả sử a + b; a - b; ab tỉ lệ với 35;210; 12

=> \(35\left(a+b\right)=210\left(a-b\right)=12ab\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{210}=\dfrac{a-b}{35}=\dfrac{a+b+a-b}{210+35}=\dfrac{2a}{245}\) (TCCDTSBN)

=> 245(a + b) = 210.2a

=> 245a + 245b = 420a

=> 245b = 175a

=> 7b = 5a

đến đây dễ r`

2)

Gọi K là giao điểm của BC và AD

\(\Delta\) ABC đều nên trung tuyến đồng thời là trung trực

=> AG là đường trung trực của BC

=> GC = QB (1)

G là trọng tâm của \(\Delta\) ABC nên \(GK=\dfrac{1}{2}AG\)

Mà GA = GD (gt) nên \(GK=\dfrac{1}{2}GD=\dfrac{1}{2}\left(GK+KD\right)\)

=> GK = KD

\(\Delta GKC=\Delta DKB\left(c.g.c\right)\) => CG = DB (2 cạnh t/ứ) (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta BDG\) đều (đpcm)

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Ta có: (x-y)²\(\ge0\) => x²+y²-2xy \(\ge\)0

=> x²+y² \(\ge\)2xy, điều này luôn đúng với x;y dương

Theo đề: x+y=16 => (x+y)²=16

=> x²+y²+2xy=256 \(\le2\left(x^2+y^2\right)\)

=> 128 \(\le x^2+y^2\)

\(M=\dfrac{9}{xy}+\dfrac{17}{x^2+y^2}\ge\dfrac{9}{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\dfrac{17}{x^2+y^2}=\dfrac{35}{x^2+y^2}\)

\(M\ge\dfrac{35}{128}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 8

b) t/g MCK = t/g ACK (c.g.c)

=> CMK = CAK (2 góc t/ứ)

t/g BAN cân tại A (AB = BN) => BAN = BNA (t/c tam giác cân)

Mà: BAN + CAK = BAC = 90^o nên BNA + CMK = 90^o

hay MNK + NMK = 90^o

từ đó => MKN = 90^o

=> MK _|_ AN; BD _|_ AN

=> MK // BD (đpcm)