Question

Tìm 3 số a,b,c nguyên dương thỏa mãn: a\(^3\) + 3a\(^2\) + 5 = 5\(^b\) và a+3 = 5\(^c\)

Answer 1

a + 3 = 5^c => 3 = 5^c - a

Ta có: a³ + 3a² + 5 = 5^b

=> a³ + (5^c - a).a² + 5 = 5^b

=> a³ + 5^c.a² - a³ + 5 = 5^b

=> 5^c.a² + 5 = 5^b

=> \(5^c=\dfrac{5^b-5}{a^2}=\dfrac{5.\left(5^{b-1}-1\right)}{a^2}\)

Do c nguyên dương nên 5^c > 0 => 5.(5^b-1 - 1) > 0

=> 5^b-1 - 1 > 0

Lại thấy 5^b-1 - 1 không chia hết cho 5 nên \(\left\{{}\begin{matrix}5^c=5=5^1\\5^{b-1}-1=a^2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=1\\5^{b-1}-1=a^2\end{matrix}\right.\)

Thay c = 1 vào a + 3 = 5^c ta được: a + 3 = 5

=> a = 2

Thay a = 2 vào 5^b-1 - 1 = a² ta được:

5^b-1 - 1 = 2²

=> 5^b-1 = 5

=> b - 1 = 1 => b = 2

Vậy ...