Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, có tâm sai \(e=-\sqrt{5}\) và đi qua điểm \(M\left(\sqrt{10};-6\right)\).
\(4x^2-y^2=1\) \(x^2-4y^2=1\) \(\frac{x}{4}^2-y^2=1\) \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)Hướng dẫn giải:
Hy pebol có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Tâm sai của hypebol là \(e=\dfrac{c}{a}\) trong đó \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Theo giả thiết \(e=\sqrt{5}\) nên \(\dfrac{c^2}{a^2}=5\Leftrightarrow c^2=5a^2\Leftrightarrow a^2+b^2=5a^2\Leftrightarrow b^2=4a^2\)và phương trình của hypebol là \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{4a^2}=1\). Vì hypebol đi qua \(M\left(\sqrt{10};-6\right)\) nên \(\dfrac{10}{a^2}-\dfrac{36}{4a^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}=1\Leftrightarrow a^2=1\). Phương trình (H) là \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\).
Đáp số: \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\).
