Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right)\) và đi qua điểm \(A\left(-2\sqrt{5};-2\right)\).
\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\) \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)Hướng dẫn giải:
Giả sử (H) có phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right)\) là một tiêu điểm của (H) suy ra
\(a^2+b^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\Leftrightarrow b^2=5-a^2\) (điều kiện \(a^2< 5\))
Phương trình của (H) trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{5-a^2}=1\). Dùng giả thiết (H) qua \(A\left(-2\sqrt{5};-2\right)\) suy ra \(\dfrac{20}{a^2}-\dfrac{4}{5-a^2}=1\)
\(\Leftrightarrow a^4-29a^2+100=0\Leftrightarrow a^2=25,a^2=4\). Do điều kiện \(a^2< 5\) ta chỉ lấy \(a^2=4,b^2=1\).
Đáp số: \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)
