Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Một đường thẳng \(d\) bất kì đi qua \(A\). Kẻ \(BH,CK\) vuông góc với đường thẳng \(d\). Khi đó \(BH^2+CK^2\) bằng
\(AC^2+BC^2\).\(BH^2\).\(AC^2\).\(BC^2\).Hướng dẫn giải:
\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \(\Rightarrow\) \(AB=AC\)
Có \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) \(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)
Nên \(\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAK\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CKA}=90^0\)
\(AB=AC\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta CAK\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BH=AK\)
Do đó \(BH^2+CK^2=AK^2+CK^2\)
mà \(\Delta ACK\) vuông tại \(K\) \(\Rightarrow AK^2+CK^2=AC^2\) (định lí Pytago)
Nên \(BH^2+CK^2=AC^2\)
