Bài 13. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

I. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

• Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa  là bội của b.
• Bội chung nhỏ nhất của a và b là số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b.

Lưu ý: 

• Quy ước: Viết tắt bội chung là BC và bội chung nhỏ nhất là BCNN.
• Kí hiệu: + Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).  

                     + Bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Ví dụ: a) Số 24 có phải là bội chung của 4 và 8 hay không?

            b) Số 30 có phải là bội chung của 3 và 8 hay không?

            c) Tìm một bội chung của 5 và 9.

Giải:

a) 24 là bội của 4 (vì 24 = 4.6), 24 là bội của 8 (vì 24 = 8.3).

Vậy 24 là bội chung của 4 và 8.

b) 30 không là bội chung của 3 và 8.

c) Ta có: 45 chia hết cho 5, 45 chia hết cho 9.

Vậy 45 là bội chung của 5 và 9.     

Lưu ý:

• Số tự nhiên n được gọi là bội chung của ba số a, b, c nếu n là bội của cả ba số a, b, c.
• Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của ba số a, b, c được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số a, b, c.
• Kí hiệu: + Tập hợp các bội chung của ba số a, b, c là BC(a, b, c)

                    +  Bội chung nhỏ nhất của a, b, c là BCNN(a, b, c).

• Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.
• Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể lấy bội chung nhỏ nhất của chúng lần lượt nhân với 0, 1, 2, ...

II. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng.

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất.

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN(56, 98).

Giải:

• 56 = 2³.7;  98 = 2.7²
• Số mũ lớn nhất của 2 là 3; ta chọn 2³
• Số mũ lớn nhất của 7 là 2; ta chọn 7²
• Vậy BCNN(56, 98) = 2³.7² = 392.

• Nếu a ⋮ b thì BCNN(a, b) = a.
• Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN(a, b) = a.b.

III. ỨNG DỤNG BỘI CHUNG NHỎ NHẤT VÀO CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU

Phương pháp: 

• Tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu. Mẫu chung chính là BCNN
• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
• Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng
• Cộng hai phân số cùng mẫu.

Ví dụ minh họa: Tính \(\dfrac{7}{24}+\dfrac{5}{36}.\)

• BCNN(24, 36) = 72, vậy mẫu số chung là 72.
• Tìm thừa số phụ: 72 : 24 = 3; 72 : 36 = 2.
• \(\dfrac{7}{24}=\dfrac{7.3}{24.3}=\dfrac{21}{72}\); \(\dfrac{5}{36}=\dfrac{5.2}{36.2}=\dfrac{10}{72}\).
• \(\dfrac{7}{24}+\dfrac{5}{36}=\dfrac{21}{72}+\dfrac{10}{72}=\dfrac{21+10}{72}=\dfrac{31}{72}.\)