Bài 12. Ước chung và ước chung lớn nhất

I. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

• Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
• Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
• Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu:

• Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).
• Ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Lưu ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

Ví dụ 1:

a) Số 6 có phải là ước chung của 24 và 30 không? Vì sao?

b) Số 8 có phải là ước chung của 16 và 45 không? Vì sao?

c) Tìm ước chung của 18 và 24. Ước chung lớn nhất của chúng là bao nhiêu?

Giải:

a) + 6 là ước của 24 (vì 24 = 6.4).

     + 6 là ước của 30 (vì 30 = 6.5).

Vậy 6 là ước chung của 24 và 30.

b) + 8 là ước của 16 (vì 16 = 8.2).

     + 8 không là ước của 45 vì (45 chia 8 dư 5)

Vậy 8 không là ước chung của 16 và 45.

c) 

Các ước chung của 18 và 24 là 1, 2, 3, 6.
Vậy ƯC(18, 24) = {1; 2; 3; 6} và ƯCLN(18, 24) = 6.

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Ví dụ 2: Biết ƯCLN(a, b) = 30. Tìm tất cả các số là ước chung của a và b.

Giải:

Vì ước chung của a và b đều là ước của ước chung lớn nhất nên tất cả các ước của 30 đều là ước chung là a và b.

Các số đó là 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

II. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Phương pháp:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Ví dụ minh họa: Tìm ước chung lớn nhất của 24 và 60.

Bước 1. Phân tích 24 và 60 ra thừa số nguyên tố.

• 24 = 2.2.2.3 = 2³.3;
• 60 = 2.2.3.5 = 2².3.5.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 24 và 60 là 2 và 3.

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất 

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; ta chọn 2²;
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1; ta chọn 3¹.

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta được ƯCLN cần tìm.

ƯCLN(24, 60) = 2².3 = 12.

Lưu ý:

• Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
• Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b.​

III. HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

• Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
• Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 1:

a) Hai số 16 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

b) Hai số 18 và 39 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

Giải:

a) Ta có: ƯCLN(16, 35) = 1, vậy 16 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Ta có: ƯCLN(18, 39) = 3, vậy 18 và 39 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 2: a) \(\dfrac{5}{8}\) có phải là phân số tối giản hay không?

                 b) Rút gọn phân số \(\dfrac{12}{20}\) về phân số tối giản.

Giải:

a) Vì ƯCLN(5, 8) = 1 nên \(\dfrac{5}{8}\) là phân số tối giản.

b) ƯCLN(12, 20) = 4. Vậy \(\dfrac{12}{20}=\dfrac{12:4}{20:4}=\dfrac{3}{5}\).