Tứ giác

a: Xét ΔABC có

M,I lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>MI là đường trung bình của ΔABC

=>MI//AB và \(MI=\dfrac{AB}{2}\)

Xét tứ giác ABMI có MI//AB

nên ABMI là hình thang

Hình thang ABMI có AB\(\perp\)AI

nên ABMI là hình thang vuông

b: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMCD có

I là trung điểm chung của AC và MD

=>AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có MA=MC

nên AMCD là hình thoi

c: AMCD là hình thoi

=>AC\(\perp\)MD tại I

Xét tứ giác AHMI có

\(\widehat{AHM}=\widehat{AIM}=\widehat{HAI}=90^0\)

=>AHMI là hình chữ nhật

=>AM cắt HI tại trung điểm của mỗi đường và AM=HI

=>O là trung điểm chung của AM và HI

Xét ΔCAM có

CO,MI là các đường trung tuyến

CO cắt MI tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔCAM

Xét ΔCAM có

MI là đường trung tuyến

K là trọng tâm của ΔCAM

Do đó: \(MK=\dfrac{2}{3}\cdot MI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot MD=\dfrac{1}{3}MD\)

Ta có: MK+KD=MD

=>\(KD+\dfrac{1}{3}MD=MD\)

=>\(KD=\dfrac{2}{3}MD\)

=>\(KD=2\cdot\dfrac{1}{3}MD=2\cdot MI\)

giúp mình nha

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

b: Xét tứ giác DECF có

DE//CF

DF//CE

Do đó: DECF là hình bình hành

=>DC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của DC

nên G là trung điểm của EF

=>E,G,F thẳng hàng

c: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BA

DF//AC

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔDBC có

DF,BG là các đường trung tuyến

DF cắt BG tại H

Do đó: H là trọng tâm của ΔDBC

giúp mình với

​

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

D là trung điểm của BA

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//AC và \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: ED//AC

F\(\in\)ED

Do đó: EF//AC

Ta có: ED//AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AB

=>EF\(\perp\)AB

Ta có: \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

\(ED=\dfrac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB\(\perp\)EF

nên AEBF là hình thoi

b: Xét tứ giác ECAF có

FE//AC

FE=AC

Do đó: ECAF là hình bình hành

c: ta có: ECAF là hình bình hành

=>EA cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của EA

nên M là trung điểm của FC

=>C,M,F thẳng hàng

d: Ta có: \(DF=\dfrac{EF}{2}\)

\(CN=\dfrac{CA}{2}\)

mà EF=CA

nên DF=CN

Xét tứ giác DFNC có

DF//NC

DF=NC

Do đó: DFNC là hình bình hành

=>DN cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CF

nên M là trung điểm của DN

Xét tứ giác ADEN có

M là trung điểm chung của AE và DN

=>ADEN là hình bình hành

Hình bình hành ADEN có \(\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADEN là hình chữ nhật

e: Khi BEAF là hình vuông thì \(\widehat{AEB}=90^0\)

=>AE\(\perp\)EB tại E

=>AE\(\perp\)BC tại E

Xét ΔABC có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ΔABC vuông cân tại A

=>Điều này đúng

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE là phân giác của góc BAC

Hình chữ nhật ADEN có AE là phân giác của góc DAN

nên ADEN là hình vuông

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

D là trung điểm của BA

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//AC và \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: ED//AC

F\(\in\)ED

Do đó: EF//AC

Ta có: ED//AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AB

=>EF\(\perp\)AB

Ta có: \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

\(ED=\dfrac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB\(\perp\)EF

nên AEBF là hình thoi

b: Xét tứ giác ECAF có

FE//AC

FE=AC

Do đó: ECAF là hình bình hành

c: ta có: ECAF là hình bình hành

=>EA cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của EA

nên M là trung điểm của FC

=>C,M,F thẳng hàng

d: Ta có: \(DF=\dfrac{EF}{2}\)

\(CN=\dfrac{CA}{2}\)

mà EF=CA

nên DF=CN

Xét tứ giác DFNC có

DF//NC

DF=NC

Do đó: DFNC là hình bình hành

=>DN cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CF

nên M là trung điểm của DN

Xét tứ giác ADEN có

M là trung điểm chung của AE và DN

=>ADEN là hình bình hành

Hình bình hành ADEN có \(\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADEN là hình chữ nhật

e: Khi BEAF là hình vuông thì \(\widehat{AEB}=90^0\)

=>AE\(\perp\)EB tại E

=>AE\(\perp\)BC tại E

Xét ΔABC có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ΔABC vuông cân tại A

=>Điều này đúng

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE là phân giác của góc BAC

Hình chữ nhật ADEN có AE là phân giác của góc DAN

nên ADEN là hình vuông

a: ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác OBKC có

OB//KC

BK//OC

Do đó: OBKC là hình bình hành

Hình bình hành OBKC có \(\widehat{BOC}=90^0\)

nên OBKC là hình chữ nhật

b: OBKC là hình chữ nhật

=>OK=BC

mà BC=AB(ABCD là hình thoi)

nên OB=AB

OBKC là hình chữ nhật

=>OB//KC và OB=KC

OB=KC

OB=OD

Do đó: OD=KC

OB//KC

O\(\in\)BD

Do đó: OD//KC

Xét tứ giác ODCK có

OD//CK

OD=CK

Do đó: ODCK là hình bình hành

=>DC=OK

c: Để hình chữ nhật OBKC trở thành hình vuông thì OB=OC

mà \(OB=\dfrac{BD}{2};OC=\dfrac{AC}{2}\)

nên AC=BD

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)

Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

nên AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có MA=MC

nên AMCK là hình thoi

b: AMCK là hình thoi

=>AK//MC và AK=MC

AK//MC

M\(\in\)BC

Do đó: AK//MB

AK=MC

MC=MB

Do đó: AK=MB

Xét tứ giác AKMB có

AK//MB

AK=MB

Do đó: AKMB là hình bình hành

c; Để hình thoi AMCK trở thành hình vuông thì \(\widehat{KCM}=90^0\)

AMCK là hình thoi

=>CA là phân giác của \(\widehat{KCM}\)

=>\(\widehat{ACM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{KCM}=45^0\)

=>\(\widehat{ACB}=45^0\)

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

b:

MD\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: MD//AC

ME\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔBAC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔBAC

=>MD//AC và \(MD=\dfrac{AC}{2}\)

\(MD=\dfrac{AC}{2}\)

\(CE=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: MD=CE

MD//AC

\(E\in\)AC

Do đó: MD//CE

Xét tứ giác DMCE có

DM//CE

DM=CE

Do đó: DMCE là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC

=>DE//HM

ΔHAC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến

nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)

mà \(MD=\dfrac{AC}{2}\)

nên HE=MD

Xét tứ giác DHME có

ED//MH

=>DHME là hình thang

Hình thang DHME có MD=HE

nên DHME là hình thang cân

a: ΔABC cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên AM\(\perp\)BC và M là trung điểm của BC

Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

Hình bình hành ABDC có AB=AC

nên ABDC là hình thoi

b: BF//AM

AM\(\perp\)BC

Do đó: BF\(\perp\)BC

=>ΔBFC vuông tại B

\(\widehat{ABC}+\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=90^0\)

\(\widehat{ACB}+\widehat{AFB}=90^0\)(ΔBFC vuông tại B)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{ABF}=\widehat{AFB}\)

=>AB=AF

mà AB=AC

nên AF=AC

=>A là trung điểm của CF

AM\(\perp\)BC

EC//AM

Do đó: CE\(\perp\)CB

=>ΔCBE vuông tại C

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=90^0\)

\(\widehat{ABC}+\widehat{AEC}=90^0\)(ΔECB vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{ACE}=\widehat{AEC}\)

=>AC=AE

mà AB=AC

nên AB=AE

=>A là trung điểm của BE

\(BE=2BA\)

CF=2CA

mà BA=CA

nên BE=CF

Xét tứ giác BCEF có

A là trung điểm chung của BE và CF

=>BCEF là hình bình hành

Hình bình hành BCEF có BE=CF

nên BCEF là hình chữ nhật

c: Để hình thoi ABDC là hình vuông thì \(\widehat{BAC}=90^0\)