a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: \(\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow-4m+5>0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{4}\).

b) Theo định lí Viete ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=-4x_2\\\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)=4x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)\right]\left[\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)\right]=-16x_1x_2\)

\(\Rightarrow\left(-4m+5-2m+1\right)\left(-4m+5+6m-3\right)=-16\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-6\left(m-1\right).2\left(m+1\right)=-16\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\) (thoả \(m< \dfrac{5}{4}\))

Với m=1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2-x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=1. Chọn x₁=1 và x₂=0 thì thoả điều kiện.

Với m=-1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2+3x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=-3. Chọn x₁=0 và x₂=-3 thì thoả điều kiện.

Vậy \(m=\pm1\)

1: Thay x=1 và y=2 vào (P), ta được:

\(\left(m^2-m\right)\cdot1^2=2\)

=>\(m^2-m-2=0\)

=>(m-2)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-1\end{matrix}\right.\)

2: Thay x=5 vào (d), ta được:

\(y=x-3=5-3=2\)

Thay x=5 và y=2 vào (P), ta được:

\(m\cdot5^2=2\)

=>25m=2

=>\(m=\dfrac{2}{25}\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp

b: BCEF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)

mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)

=>Ax\(\perp\)OA tại A

=>Ax\(\perp\)AD tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>FE\(\perp\)AD

a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp

b: BCEF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)

mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)

=>Ax\(\perp\)OA tại A

=>Ax\(\perp\)AD tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>FE\(\perp\)AD

a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp

b: BCEF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)

mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)

=>Ax\(\perp\)OA tại A

=>Ax\(\perp\)AD tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>FE\(\perp\)AD