a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

Xét ΔDBC vuông tại C và ΔBAH vuông tại H có

\(\widehat{CDB}=\widehat{HBA}\left(=\widehat{BOA}\right)\)

Do đó: ΔDBC~ΔBAH

c: ΔDBC~ΔBAH

=>\(\dfrac{BC}{AH}=\dfrac{DC}{BH}\)

mà AH=2MH và BC=2BH(H là trung điểm của BC)

nên \(\dfrac{2BH}{2MH}=\dfrac{DC}{BH}\)

=>\(\dfrac{DC}{BH}=\dfrac{BH}{MH}\)

mà BH=HC

nên \(\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{BH}{DC}\)

Xét ΔBMH vuông tại H và ΔDHC vuông tại C có

\(\dfrac{MH}{DC}=\dfrac{BH}{DC}\)

Do đó: ΔBMH~ΔDHC

=>\(\widehat{MBH}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{MBH}=\widehat{NBC}=\widehat{NDC}\)

nên \(\widehat{HDC}=\widehat{NDC}\)

=>D,H,N thẳng hàng 

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CEHF có \(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{ECF}=90^0\)

nên CEHF là hình chữ nhật

b:

I là tâm đường tròn đường kính AH nên I là trung điểm của AH

=>IA=IH

Ta có: OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(O) và (I) tiếp xúc trong với nhau nhau tại A

Vì HI+HK=IK

nên (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau nhau tại H

Ta có: \(A=\left(\dfrac{1}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{a}}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)\)

\(=\dfrac{1+\sqrt{a}+1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt[]{a}}\)

\(=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=\dfrac{-2}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

a: Sửa đề: Chứng minh OA\(\perp\)BC tại H

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC 

b: Xét ΔOBA vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

nên \(\widehat{BOA}=75^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc BOC

=>\(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BOA}=150^0\)

Ta có: \(\widehat{BOC}+\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=180^0-150^0=30^0\)

Diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OC,OD và cung nhỏ CD là:

\(S_{q\left(COD\right)}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot n}{360}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot30}{360}=\Omega\cdot\dfrac{R^2}{12}\)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

Xét ΔDBC vuông tại C và ΔBAH vuông tại H có

\(\widehat{CDB}=\widehat{HBA}\left(=\widehat{BOA}\right)\)

Do đó: ΔDBC~ΔBAH

c: ΔDBC~ΔBAH

=>\(\dfrac{BC}{AH}=\dfrac{DC}{BH}\)

mà AH=2MH và BC=2BH(H là trung điểm của BC)

nên \(\dfrac{2BH}{2MH}=\dfrac{DC}{BH}\)

=>\(\dfrac{DC}{BH}=\dfrac{BH}{MH}\)

mà BH=HC

nên \(\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{BH}{DC}\)

Xét ΔBMH vuông tại H và ΔDHC vuông tại C có

\(\dfrac{MH}{DC}=\dfrac{BH}{DC}\)

Do đó: ΔBMH~ΔDHC

=>\(\widehat{MBH}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{MBH}=\widehat{NBC}=\widehat{NDC}\)

nên \(\widehat{HDC}=\widehat{NDC}\)

=>D,H,N thẳng hàng 

  .

e) \(...=\dfrac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)-4\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}+2\sqrt{3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{7}+4\sqrt{3}-4\sqrt{7}+4\sqrt{3}}{7-3}+2\sqrt{3}\)

\(=\dfrac{8\sqrt{3}}{4}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)