Đề số 1

Toàn bộ nghiệm của 3 pt này đều là nghiệm thực, không có nghiệm phức nào

a. \(x^2-3x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

b. \(x^4-5x^2+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2\\x^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\sqrt{2}\\x=\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

c. \(-x^2+4x+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Bạn xem lại đề, $y=\frac{1}{2}x, x+\frac{1}{2}$ thì không có nghĩa. Với lại điều kiện đề để tính thể tích thì thiếu

a.

Pt giao điểm: \(cosx=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)

\(S=\int\limits^{\pi}_0\left|cosx\right|dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0cosxdx-\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}cosxdx=2\)

b.

Bạn coi lại đề, \(y=\dfrac{1}{2}x,x+\dfrac{1}{2}\) nghĩa là sao nhỉ?

c.

Pt giao điểm với Ox:

\(2-x-x^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^1_{-2}\left(2-x-x^2\right)dx=\left(2x-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x^3\right)|^1_{-2}=\dfrac{9}{2}\)

a.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2-x\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(x-2\right).cosx|^{\dfrac{\pi}{2}}_0-\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0cosx.dx=2-1=1\)

b. Đặt \(cos2x=t\Rightarrow-2sin2x.dx=dt\Rightarrow sin2xdx=-\dfrac{1}{2}dt\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=\pi\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_1-\dfrac{1}{2}.t^2dt=0\) (hai cận bằng nhau thì tích phân bằng 0 khỏi tính dài dòng)

c. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(I=x.e^x|^1_0-\int\limits^1_0e^xdx=\left(x.e^x-e^x\right)|^1_0=1\)

\(b=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{6}}_0cos2xd\left(2x\right)=\dfrac{1}{2}sin2x|^{\dfrac{\pi}{6}}_0=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

\(c=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_{-1}\left(2x+1\right)^3d\left(2x+1\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}\left(2x+1\right)^4|^1_{-1}=10\)

\(d=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_1\dfrac{d\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\left(2x-1\right)}|^2_1=\dfrac{1}{3}\)

a. ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\log_22+\log_2x-9\log_{2^3}x=4\)

\(\Leftrightarrow1+\log_2x-\dfrac{9}{3}\log_2x=4\)

\(\Leftrightarrow-2\log_2x=3\)

\(\Leftrightarrow\log_2x=-\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=2^{-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

b.

\(\Leftrightarrow5^x-24=\dfrac{25}{5^x}\)

\(\Leftrightarrow5^{2x}-24.5^x=25\)

Đặt \(5^x=t>0\Rightarrow t^2-24t-25=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1< 0\left(loại\right)\\t=25\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5^x=25\Rightarrow x=2\)

Đặt \(u=x^2+x+1\Rightarrow du=\left(2x+1\right)dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^3_1\dfrac{du}{u}=ln\left|u\right||^3_1=ln3-ln1=ln3\)

\(y'=-3x^2+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(x=-1\) là điểm cực tiểu

\(x=1\) là điểm cực đại

Hàm đồng biến trên \(\left(-1;1\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

BBT:

b. \(y'\left(2\right)=-9\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=-9\left(x-2\right)+0\Rightarrow y=-9x+18\)