Đề số 1

a.

Do AM là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\widehat{OAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)

Tương tự, do MC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OCM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) tại A và C \(\Rightarrow MA=MC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có \(OA=OC=R\)

\(\Rightarrow OM\)  là trung trực của AC

\(\Rightarrow OM\perp AC\) tại I

c.

Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay \(AD\perp BM\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAM với đường cao AD:

\(AM^2=MD.MB\) (3)

Theo c/m câu b ta có \(AI\perp MO\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(AM^2=MI.MO\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow MA^2=MI.MO=MD.MB\)

d.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(OA^2=OI.OM\)

Mà \(OA=OB=R\Rightarrow OB^2=OI.OM\Rightarrow\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\)

Xét hai tam giác BOI và MOB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\left(cmt\right)\\\widehat{MOB}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BOI\sim\Delta MOB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OIB}=\widehat{OBM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3^x=441\Rightarrow3=441^{\left(\dfrac{1}{x}\right)}\\7^y=441\Rightarrow7=441^{\left(\dfrac{1}{y}\right)}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3.7=441^{\left(\dfrac{1}{x}\right)}.441^{\left(\dfrac{1}{y}\right)}\)

\(\Rightarrow21=441^{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}=21^{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{x+y}=2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{xy}{x+y}\right)^2=4\)

Lời giải:

Giả sử phải gửi $n$ năm để được số tiền $4370908$ đồng.

Khi đó: $4000000(1+\frac{3}{100})^n=4370908$

$\Rightarrow n=3$ (năm)

Bài 1:

a: \(\sqrt{8}+3\sqrt{2}-4\sqrt{50}\)

\(=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\cdot5\sqrt{2}\)

\(=5\sqrt{2}-20\sqrt{2}=-15\sqrt{2}\)

b: \(\sqrt{\left(4-\sqrt{15}\right)^2}+\sqrt{\left(3-\sqrt{15}\right)^2}\)

\(=\left|4-\sqrt{15}\right|+\left|3-\sqrt{15}\right|\)

\(=4-\sqrt{15}+\sqrt{15}-3=1\)

c: \(\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-4\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{5}{1-\sqrt{6}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{5}{\sqrt{6}-1}\)

\(=\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\dfrac{5\left(\sqrt{6}+1\right)}{6-1}\)

\(=-\sqrt{6}+\sqrt{6}+1=1\)

Bài 2:

a:

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x+1=\dfrac{1}{2}x+2\)

=>\(x-\dfrac{1}{2}x=2-1\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=1\)

=>x=2

Thay x=2 vào y=x+1, ta được:

y=2+1=3

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(2;3)

Đề dài quá. Bạn cần hỗ trợ bài nào nên ghi chú rõ bài đó ra nhé.

Độ dài đoạn nào bằng 13cm vậy bạn?

a: Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)AC

Xét tứ giác AHOK có

\(\widehat{AHO}+\widehat{AKO}=90^0+90^0=180^0\)

=>AHOK là tứ giác nội tiếp

=>A,H,O,K cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔBTC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBTC vuông tại T

=>CT\(\perp\)TB tại T

=>CT\(\perp\)BD tại T

Xét ΔBCD vuông tại C có CT là đường cao

nên \(DT\cdot DB=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCO vuông tại C có CK là đường cao

nên \(DK\cdot DO=DC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DT\cdot DB=DK\cdot DO\)

Bài 1:

a: Thay a=50 vào T=500a+45000, ta được:

\(T=500\cdot50+45000=25000+45000=70000\)

b: Đặt T=155325

=>500a+45000=155325

=>500a=110325

=>\(a=\dfrac{110325}{500}=220,65\simeq221\)

Bài 2:

6x+5y+2xy=2

=>6x+2xy+5y=2

=>2x(y+3)+5y+15=17

=>2x(y+3)+5(y+3)=17

=>(2x+5)(y+3)=17

=>\(\left(2x+5\right)\cdot\left(y+3\right)=1\cdot17=17\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-17\right)=\left(-17\right)\cdot\left(-1\right)\)

=>\(\left(2x+5;y+3\right)\in\left\{\left(1;17\right);\left(17;1\right);\left(-1;-17\right);\left(-17;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-2;14\right);\left(6;-2\right);\left(-3;-20\right);\left(-11;-4\right)\right\}\)

Câu 1:

Ở câu này, trước khi tìm lời giải bài toán, ta nên thử vài số nguyên trước để có định hướng làm bài.

- Với \(n\in Z;n\in\left[-5,9\right]\), ta có kết quả sau:

Để ý rằng, với n lẻ và n thuộc khoảng trên thì A chia hết cho 16.

Vậy ta sẽ cố chứng minh rằng, khi n lẻ thì A chia hết cho 16 và ngược lại.

Tiếp tục quan sát, ta thấy \(n=-5;-1;1;3\) là các nghiệm của đa thức A.

Do đó, đa thức A có thể viết lại thành: \(A=\left(x+5\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)\)

Với n lẻ thì mỗi nhân tử của A đều chẵn, do đó A sẽ chia hết cho \(2.2.2.2=16\)

(Tương tự với n chẵn).

- Vậy với n lẻ thì A chia hết cho 16

Câu 2: Phân tích \(B=n^6-n^4+2n^3+2n^2\) thành nhân tử, ta được:

\(B=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n-1\right)^2+1\right]\)

Giả sử B là một số chính phương, khi đó \(\left(n-1\right)^2+1\) cũng phải là một số chính phương.

Đặt \(\left(n-1\right)^2+1=a^2\) \(\Leftrightarrow\left(a+n-1\right)\left(a-n+1\right)=1\)

Giải phương trình ước số trên, ta được: \(a=1;n=1\) (loại vì n>1).

Vậy điều giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh.

\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{3}+1}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{3-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left[\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)\right]}{6}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(6-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3+6+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3\right)}{6}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\dfrac{6}{6}=\sqrt{2}\)

\(x^2-2x=2\sqrt{2x-1}\) \(\left(Đk:x\ge\dfrac{1}{2}\right)\)

\(x^2=2x+2\sqrt{2x-1}\)

\(x^2=2x-1+2\sqrt{2x-1}+1\)

\(x^2=\left(\sqrt{2x-1}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2x-1}+1\\x=-\sqrt{2x-1}-1\end{matrix}\right.\)

+) \(x=\sqrt{2x-1}+1\)

\(x-1=\sqrt{2x-1}\left(x\ge1\right)\)

\(x^2-2x+1=2x-1\)

\(x^2-4x+2=0\)

\(\left(x-2\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}+2\left(TM\right)\\x=2-\sqrt{2}\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

+) \(x=-\sqrt{2x-1}-1\)

VP\(\le-1\) mà \(VT\ge\dfrac{1}{2}\)

=> phương trình vô nghiệm

Vậy \(S=\left\{2+\sqrt{2}\right\}\)