Cho tam giác ABC có AB = AC và BC < AB. M là trung điểm của BC.
a. tam giác ABM = tam giác ACM, AM là tia phân giác của góc BAC.
b. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho CB = CD, CN là tia phân giác của góc BCD. Chứng minh: CN vuông góc với BD.
c. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho AD = CE. Chứng minh: BE - CE = 2BN.
a: Xét ΔABM và ΔACM có
AB=AC
BM=CM
AM chung
Do đó: ΔABM=ΔACM
=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
mà tia AM nằm giữa hai tia AB,AC
nên AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
b: Xét ΔCBD có CB=CD
nên ΔCBD cân tại C
Ta có: ΔCBD cân tại C
mà CN là đường phân giác
nên CN\(\perp\)BD
c: Ta có: \(\widehat{ADC}+\widehat{CDB}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{BCE}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ACB}\left(=\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{ADC}=\widehat{BCE}\)
ΔCBD cân tại C
mà CN là đường cao
nên N là trung điểm của BD
=>BD=2BN
Xét ΔADC và ΔECB có
AD=EC
\(\widehat{ADC}=\widehat{ECB}\)
DC=CB
Do đó: ΔADC=ΔECB
=>EB=AC
=>EB-AC=AC-CE=AB-AD=BD=2BN
Cho tam giác ABC có AB = AC và BC < AB. M là trung điểm của BC. Tam giác ABM = tam giác ACM, AM là tia phân giác của góc BAC (đã chứng minh). Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho CB = CD, CN là tia phân giác của góc BCD, CN vuông góc với BD (đã chứng minh). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho AD = CE. Chứng minh: BE - CE = 2BN.
cho tam giác ABC (AB<AC), tia phân giác AD (D thuộc BC). Vẽ BE vuông AD (E thuộc AC) và H là giao điểm của AD và BE.
a, chứng minh ΔABH = ΔAEH
b, chứng minh tam giác BDE là tam giác cân
c, Trên tia đối của DE lấy K sao cho DC = DK. Chứng minh góc KBD = góc CED và A, B, K thẳng hàng
d, Chứng minh BE // KC
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHE vuông tại H có
AH chung
\(\widehat{BAH}=\widehat{EAH}\)
Do đó: ΔAHB=ΔAHE
b:
Ta có: ΔAHB=ΔAHE
=>AB=AE
Xét ΔABD và ΔAED có
AB=AE
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)
AD chung
Do đó: ΔABD=ΔAED
=>DB=DE
=>ΔDBE cân tại D
c: Xét ΔBDK và ΔEDC có
DB=DE
\(\widehat{BDK}=\widehat{EDC}\)
DK=DC
Do đó: ΔBDK=ΔEDC
=>\(\widehat{KBD}=\widehat{CED}\)
Ta có: ΔBAD=ΔEAD
=>\(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)
Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{KBD}\)
\(=\widehat{AED}+\widehat{CED}\)
\(=180^0\)
=>A,B,K thẳng hàng
d: Ta có: ΔDBK=ΔDEC
=>BK=EC
Xét ΔADC có \(\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{AE}{EC}\)
nên BE//KC
Cho góc nhọn xOy, lấy A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho OA = OB. M là trung điểm của AB.
a. Chứng minh: Tam giác AOM = tam giác BOM
b. Trên tia đối của tia MO lấy điểm M sao cho MN = MO. Chứng minh: góc NAM = góc OBM
c. Gọi K là trung điểm của OB, H là trung điểm của AN. Chứng minh: M, N, K thẳng hàng.
a: Xét ΔOMA và ΔOMB có
OM chung
MA=MB
OA=OB
Do đó: ΔOMA=ΔOMB
b: Xét ΔMAN và ΔMBO có
MA=MB
\(\widehat{AMN}=\widehat{BMO}\)(hai góc đối đỉnh)
MN=MO
Do đó: ΔMAN=ΔMBO
=>\(\widehat{MAN}=\widehat{MBO}\)
c: Sửa đề:chứng minh K,M,H thẳng hàng
Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{MBO}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên OB//AN
Ta có: ΔMBO=ΔMAN
=>BO=AN(1)
Ta có: K là trung điểm của OB
=>\(OK=KB=\dfrac{OB}{2}\left(2\right)\)
Ta có:H là trung điểm của AN
=>\(HA=HN=\dfrac{AN}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra OK=KB=HA=HN
Xét tứ giác OKNH có
OK//NH
OK=NH
Do đó: OKNH làhình bình hành
=>ON cắt KH tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của ON
nên M là trung điểm của KH
=>K,M,H thẳng hàng
Cho tam giác ABC có AB = AC. M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a. Tam giác ABM = tam giác ACM, AM vuông góc với BC
b. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: AB//CD
c. Cho ME vuông góc với AB (E thuộc AB), MF vuông góc CD (F thuộc CD). Chứng minh: M là trung điểm của EF. 
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
b: Xét ΔMBA vuông tại M và ΔMCD vuông tại M có
MB=MC
MA=MD
Do đó: ΔMBA=ΔMCD
=>\(\widehat{MBA}=\widehat{MCD}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//CD
c: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có
MB=MC
\(\widehat{MBE}=\widehat{MCF}\)
Do đó: ΔBEM=ΔCFM
=>ME=MF
ΔBEM=ΔCFM
=>\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)
mà \(\widehat{BME}+\widehat{EMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{CMF}+\widehat{EMC}=180^0\)
=>F,M,E thẳng hàng
mà MF=ME
nên M là trung điểm của EF
Cho tam giác MNP nhọn có MN < MP. Trên cạnh MP lấy điểm B sao cho MB = MN. Lấy O là trung điểm của NB.
a. Chứng minh: Tam giác MNO = tam giác MBO.
b. Kéo dài MO cắt NP tại A. Chứng minh: AN = AB
c. Đường thẳng qua P song song với NB cắt MO kéo dài tại điểm H, cắt MN kéo dài tại điểm C. Chứng minh: MH vuông góc CP và MC = MP
d. Chứng minh ba điểm B, A, C thẳng hàng
a: Xét ΔMNO và ΔMBO có
MN=MB
NO=BO
MO chung
Do đó: ΔMNO=ΔMBO
b: Ta có: ΔMNO=ΔMBO
=>\(\widehat{NMO}=\widehat{BMO}\)
=>\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)
Xét ΔNMA và ΔBMA có
MN=MB
\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)
MA chung
Do đó: ΔNMA=ΔBMA
=>AN=AB
c: Ta có: ΔMNB cân tại M
mà MO là đường trung tuyến
nên MO\(\perp\)NB
mà NB//CP
nên MO\(\perp\)CP
mà MO cắt CP tại H
nên MO\(\perp\)CP tại H
Xét ΔMCP có
MH là đường phân giác
MH là đường cao
Do đó: ΔMCP cân tại M
=>MC=MP
d: Ta có: MN+NC=MC
MB+BP=MP
mà MN=MB và MC=MP
nên NC=BP
Ta có: ΔMCP cân tại M
mà MH là đường phân giác
nênMH là đường trung trực của CP
mà A\(\in\)MH
nên A nằm trên trung trực của PC
=>AP=AC
Xét ΔANC và ΔABP có
AN=AB
NC=BP
AC=AP
Do đó: ΔANC=ΔABP
=>\(\widehat{NAC}=\widehat{BAP}\)
mà \(\widehat{BAP}+\widehat{BAN}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{NAC}+\widehat{BAN}=180^0\)
=>B,A,C thẳng hàng
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Vẽ HI và HK lần lượt vuông góc với AB, AC. Trên tia đối của tia IH, KH lần lượt lấy các điểm E và F sao cho IE = IH và KF = KH. Cho góc BAC = 45 độ, tính góc EAF.
Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có
AH chung
IE=IH
Do đó: ΔAIE=ΔAIH
Xét ΔAHF có
AK là đường cao
AK là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHF cân tại A
=>AH=AF
Ta có: ΔAEI=ΔAHI
=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)
Ta có: AE=AH
AH=AF
Do đó: AE=AF
Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)
mà AI nằm giữa AE,AH
nên AI là phân giác của góc EAH
=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)
Ta có; ΔAHF cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAF
=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)
\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Vẽ HI và HK lần lượt vuông góc với AB, AC. Trên tia đối của tia IH, KH lần lượt lấy các điểm E và F sao cho IE = IH và KF = KH.
a. Chứng minh tam giác AIE = tam giác AIH
b. Chứng minh AE = AF
c. Cho góc BAC = 45 độ, tính góc EAF.
a: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có
AH chung
IE=IH
Do đó: ΔAIE=ΔAIH
b: Xét ΔAHF có
AK là đường cao
AK là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHF cân tại A
=>AH=AF
Ta có: ΔAEI=ΔAHI
=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)
Ta có: AE=AH
AH=AF
Do đó: AE=AF
c: Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)
mà AI nằm giữa AE,AH
nên AI là phân giác của góc EAH
=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)
Ta có; ΔAHF cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAF
=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)
\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)
cho △ ABC vuông tại A , AB nhỏ hơn AC , lấy D là TĐ của AC . Trên tia đói của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB
a) CM △ADB=△CDE
b) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại D , cắt BC tại K . CM AK=KC , CM góc ABK = góc KAB
c) trên tia KD lấy H sao cho D là TĐ của KH . CM K-H-E thẳng hàng ( vẽ hình)
a: Xét ΔADB và ΔCDE có
DA=DC
\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(hai góc đối đỉnh)
DB=DE
Do đó: ΔADB=ΔCDE
b: Xét ΔKAC có
KD là đường cao
KD là đường trung tuyến
Do đó: ΔKAC cân tại K
=>KA=KC
Xét ΔABC có
D là trung điểm của AC
DK//AB
Do đó: K là trung điểm của CB
=>KC=KB
mà KC=KA
nên KA=KB
=>\(\widehat{KAB}=\widehat{KBA}\)
c:
Sửa đề: Chứng minh E,H,A thẳng hàng
Xét tứ giác AKCH có
D là trung điểm chung của AC và KH
=>AKCH là hình bình hành
=>AH//CK
mà K\(\in\)BC
nên AH//BC
Xét tứ giác BKHE có
D là trung điểm chung của BH và KE
=>BKHE là hình bình hành
=>BK//HE
mà K\(\in\)CB
nên HE//BC
Ta có: HE//BC
AH//BC
HE,AH có điểm chung là H
Do đó: A,E,H thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, BA = BE. BD là tia phân giác của góc ABC, AH vuông góc với BC. Chứng minh:
a, Tam giác ABD = tam giác EBD
b, AH // DE
Sửa đề:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. BD là tia phân giác của góc ABC, AH vuông góc với BC. Chứng minh:
a, Tam giác ABD = tam giác EBD
b, AH // DE
Giải
a) Do BD là tia phân giác của ∠ABC (gt)
⇒ ∠ABD = ∠CBD
⇒ ∠ABD = ∠EBD
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
BD là cạnh chung
∠ABD = ∠EBD (cmt)
BA = BE (gt)
⇒ ∆ABD = ∆EBD (c-g-c)
b) Do ∆ABD = ∆EBD (cmt)
⇒ ∠BAD = ∠BED (hai góc tương ứng)
⇒ ∠BED = 90⁰
⇒ DE ⊥ BC
Mà AH ⊥ BC (gt)
⇒ AH // DE
Để chứng minh a, ta cần chứng minh hai tam giác ABD và EBD có cạnh và góc tương ứng bằng nhau.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc ABC = 90 độ. Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên ta có góc ABD = góc DBC.
Vì BA = BE, và góc ABD = góc DBC, nên ta có hai cạnh và góc tương ứng bằng nhau, theo nguyên tắc cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có tam giác ABD = tam giác EBD.
Để chứng minh b, ta cần chứng minh hai đường thẳng AH và DE là song song.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc ABC = 90 độ. Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên ta có góc ABD = góc DBC.
Vì tam giác ABD = tam giác EBD (đã chứng minh ở câu a), nên ta có góc ADB = góc EDB.
Vì góc ADB = góc EDB và góc ABD = góc DBC, nên theo nguyên tắc góc tương đương, ta có AH // DE.
Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a và b.
