§2. Phương trình đường tròn

1. Số phần tử của không giam mẫu: \(6.6=36\)

2. Biến cố A: có 6 phần tử (liệt kê 11, 22,...)

3. B: Ứng với mỗi lần tung thứ nhất, lần tung thứ 2 luôn có 2 biến cố thuận lợi để tổng 2 lần tung chia hết cho 3 (ví dụ lần 1 bằng 1 thì lần 2 bằng 2 hoặc 5). Do đó có tổng cộng \(6.2=12\) biến cố thuận lợi

4. C: Số biến cố thuận lợi là: \(5+4+3+2+1=15\) (ứng với lần tung thứ nhất lần lượt bằng 6, 5, 4, 3, 2)

Làm biếng làm dạng này quá.

Ví dụ câu (4)

(C1) có tâm \(I_1\left(2;0\right)\) bán kính \(R_1=3\)

(C2) có tâm \(I_2\left(3;-4\right)\) bán kính \(R_2=3\)

Nhận xét: (C1) và (C2) có cùng bán kính nên tiếp tuyến chung sẽ song song đường thẳng nối tâm

\(\overrightarrow{I_1I_2}=\left(1;-4\right)\) nên tiếp tuyến chung nhận \(\left(4;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình tiếp tuyến chung d có dạng: \(4x+y+c=0\)

\(d\left(I_1;d\right)=R_1\Rightarrow\)tính được c

Câu (1):

(C1) tâm \(I_1\left(0;0\right)\) bán kính \(R_1=3\)

(C2) tâm \(I_2\left(1;0\right)\) bán kính \(R_2=2\)

Gọi pt tiếp tuyến chung d có dạng \(ax+by+c=0\) với \(a^2+b^2\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d\left(I_1;d\right)=R_1\\d\left(I_2;d\right)=R_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\\\dfrac{\left|a+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left|c\right|}{3}=\sqrt{a^2+b^2}\left(1\right)\\\dfrac{\left|a+c\right|}{2}=\sqrt{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|c\right|}{3}=\dfrac{\left|a+c\right|}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{c}{3}\\\dfrac{a+c}{2}=-\dfrac{c}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-3a\\c=-\dfrac{3a}{5}\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|a\right|=\sqrt{a^2+b^2}\\\left|\dfrac{a}{5}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow b=0\) (pt dưới vô nghiệm)

Thay vào pt (d) ta được: \(ax-3a=0\Leftrightarrow x-3=0\)

Viết câu 2, câu 2 em tự làm nhé:

Giả sử tiếp tuyến d' có 1 vtpt tọa độ \(\left(a;b\right)\) với a;b không đồng thời bằng 0

(C) tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\) ; d có 1 vtpt  tọa độ \(\overrightarrow{n_d}=\left(2;1\right)\)

Do d' và d tạo với nhau góc 45 độ nên:

\(\left|cos\left(\overrightarrow{n};\overrightarrow{n_d}\right)\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{5}.\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow5\left(a^2+b^2\right)=2\left(2a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+8ab-3b^2=0\Leftrightarrow\left(a+3b\right)\left(3a-b\right)=0\)

Chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(3;-1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;3\right)\end{matrix}\right.\)

TH1: d' có dạng \(3x-y+c=0\)

Do d' tiếp xúc (C) nên: \(d\left(I;d'\right)=R\Rightarrow\dfrac{\left|3+1+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{10}\Rightarrow\left|c+4\right|=10\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=6\\c=-14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+6=0\\3x-y-14=0\end{matrix}\right.\)

TH2: d' có dạng \(x+3y+c=0\) làm tương tự

a: Khi x=-2 thì (y+2)^2=25-(-2-1)^2=25-9=16

=>y=2 hoặc y=-6

TH1: A(-2;2)

I(1;-2)

vecto IA=(-3;4)

Phương trình Δ là:

-3(x-1)+4(y+2)=0

=>-3x+3+4y+8=0

=>-3x+4y+11=0

TH2: A(-2;-6); I(1;-2)

vecto IA=(-3;-4)=(3;4)

Phương trình IA là:

3(x+2)+4(y+6)=0

=>3x+6+4y+24=0

=>3x+4y+30=0

b: Δ//12x+5y+6=0

=>Δ: 12x+5y+c=0

d(I;Δ)=5

=>\(\dfrac{\left|12\cdot1+5\cdot\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\)

=>|c+2|=5*13=65

=>c=63 hoặc c=-67

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=3\)

\(MN=6=2R\Rightarrow MN\) là đường kính

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d là đường thẳng IA

\(\overrightarrow{IA}=\left(3;3\right)=3\left(1;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng d nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{5}\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\perp AB\Rightarrow IH=d\left(I;\Delta\right)\)

\(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}IH.AB=\dfrac{1}{2}IH.2AH=IH.\sqrt{IA^2-IH^2}=IH.\sqrt{20-IH^2}\)

\(\Rightarrow IH\sqrt{20-IH^2}=8\)

\(\Rightarrow IH^4-20IH^2+64=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}IH=4\\IH=2\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(-1;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}\), mà \(IH\le IM\Rightarrow IH=2\)

Gọi \(\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của \(\Delta\) với a;b không đồng thời bằng 0

\(\Rightarrow\) Phương trình \(\Delta\): \(a\left(x-1\right)+b\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow ax+by-a+3b=0\)

\(d\left(I;\Delta\right)=IH\Leftrightarrow\dfrac{\left|2a-b-a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|a+2b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+4ab+4b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Rightarrow3a^2-4ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\3a=4b\end{matrix}\right.\)

Chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(0;1\right)\\\left(a;b\right)=\left(4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y+3=0\\4x+3y+5=0\end{matrix}\right.\)

(C) tâm \(O\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{OI}=\left(4;-3\right)\Rightarrow OI=5\)

Gọi giao điểm của OI và AB là H \(\Rightarrow H\) là trung điểm AB và \(OI\perp AB\) tại H

Áp dụng Pitago cho tam giác vuông OAH:

\(OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow IH=OI-OH=\dfrac{7}{2}\)

\(\Rightarrow R'=IA=\sqrt{AH^2+IH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2+IH^2}=\sqrt{13}\)

Phương trình (C'): \(\left(x-5\right)^2+\left(y-1\right)^2=13\)

(C): x^2+y^2+4x-2y-4=0

=>(x+2)^2+(y-1)^2=9

=>I(-2;1); R=3

M thuộc d nên M(a;1-a)

M nằm ngoài (C) nên IM>R

=>IM^2>9

=>2a^2+4a-5>0

MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5

=>x^2+y^2-2ax+2(a-1)y-6a+6=0(1)

A,B thuộc (C)

=>Tọa độ A,B thỏa mãn phương trình:

 x^2+y^2+4x-2y-4=0(2)

(1)-(2)=(a+2)x-ay+3a-5=0(3)

Tọa độ A,B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng AB

(E) tiếp xúc AB nên (E): R1=d(E,AB)

Chu vi của (E) lớn nhất khi R1 lớn nhất

=>d(E;AB) lớn nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên AB

=>d(E,Δ)=EH<=EK=căn 10/2

Dấu = xảy ra khi H trùng K

=>AB vuông góc EK

vecto EK=(-1/2;3/2), AB có VTCP là (a;a+2)

AB vuông góc EK

=>-1/2a+3/2(a+2)=0

=>a=-3

=>M(-3;4)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\)

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\) là 1 vtcp của d (với a;b không đồng thời bằng 0)

Do d tạo với AC một góc 45 độ

\(\Rightarrow\dfrac{\left|5a-2b\right|}{\sqrt{5^2+2^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow2\left(5a-2b\right)^2=29\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow21a^2-40ab-21b^2=0\)

\(\Rightarrow\left(3a-7b\right)\left(7a+3b\right)=0\)

Chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(7;3\right)\\\left(a;b\right)=\left(3;-7\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d\) nhận (3;-7) hoặc (7;3) là vtpt

\(\Rightarrow\) Phương trình d