Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Từ x - y = 3 => x = 3 + y.

Thay x = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.

Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2.

⇔ -y = -7 ⇔ y = 7

Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7).

b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.

Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.

Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5.

⇔ 19x = 11 ⇔ x =

Thay x = vào y = 2 - 4x ta được y = 2 - 4 . = 2 - = -

Hệ phương trình có nghiệm (; -)

c) Từ x + 3y = -2 => x = -2 - 3y.

Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y) - 4y = 11

⇔ -10 - 15y - 4y = 11

⇔ -19y = 21 ⇔ y = -

Nên x = -2 -3(-) = -2 + =

Vậy hệ phương trình có nghiệm (; -).

a) Từ phương trình thứ nhất ta có y = \(\dfrac{3x-11}{2}\). Thế vào y trong phương trình thứ hai:

4x - 5\(\dfrac{3x-11}{2}\) = 3 ⇔ -7x = -49 ⇔ x = 7.

Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5)

b) Từ phương trình thứ nhất ta có: x = \(\dfrac{2y+6}{3}\)

Thế vào x trong phương trình thứ hai:

5 . \(\dfrac{2y+6}{3}\) - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = \(\dfrac{3}{2}\)

Từ đó: x = \(\dfrac{2.\dfrac{3}{2}+6}{3}=3\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; \(\dfrac{3}{2}\)).

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y.

Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:

-y . + 3y = 1 - ⇔ -2y = 1 -

⇔ y =

Từ đó: x - . =

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) =

b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 2 - 4x.

Thế vào y trong phương trình thứ hai được

(2 - )x - 3(4 - 2 - 4x) = 2 + 5

⇔ (14 - )x = 14 - ⇔ x = 1

Từ đó y = 4 - 2 - 4 . 1 = -2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; -2)

a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình ⇔

Hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta có hệ

Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 - 3y.

Thế vào x trong phương trình thứ hai, được:

1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -

Từ đó x = 1 - 3(-) = 2

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -).

c) Khi a = 1, ta có hệ ⇔ ⇔

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

a)

Từ phương trình (1) ⇔ y = 3x - 5 (3)

Thế (3) vào phương trình (2): 5x + 2(3x - 5) = 23

⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3

Từ đó y = 3 . 3 - 5 = 4.

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4).

b)

Từ phương trình (2) ⇔ y = 3x + 8 (3)

Thế (3) vào (1): 3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39

⇔ x = -3

Từ đó y = 2(-3) + 8 = 2.

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c)

Phương trình (1) ⇔ x = y (3)

Thế (3) vào (2): y + y = 10 ⇔ y = 10

⇔ y = 6.

Từ đó x = . 6 = 4.

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).

a)

Từ phương trình (2) ⇔ x = √2 - y√3 (3)

Thế (3) vào (1): ( √2 - y√3)√2 - y√3 = 1

⇔ √3y(√2 + 1) = 1 ⇔ y = =

Từ đó x = √2 - . √3 = 1.

Vậy có nghiệm (x; y) = (1; )

b)

Từ phương trình (2) ⇔ y = 1 - √10 - x√2 (3)

Thế (3) vào (1): x - 2√2(1 - √10 - x√2) = √5

⇔ 5x = 2√2 - 3√5 ⇔ x =

Từ đó y = 1 - √10 - . √2 =

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ;

c)

Từ phương trình (2) ⇔ x = 1 - (√2 + 1)y (3)

Thế (3) vào (1): (√2 - 1)[1 - (√2 + 1)y] - y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = -

Từ đó x = 1 - (√2 + 1)(-) =

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (; -)

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra

⇔ ⇔ ⇔

b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2), có nghĩa là xảy ta

⇔

⇔ ⇔

⇔

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.

P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

⇔ ⇔

⇔