Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là \(x^3:x^2=x\)
Gọi thương là x + c, ta có:
\(x^3+ax+b=\left(x^2+x-2\right)\left(x+c\right)\)
nên \(x^{ }+ax+b=x^3+\left(c+1\right)x^2+\left(c-2\right)x-2c\)
Hai đa thức bằng nhau nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}c+1=0\\c-2=a\\-2c=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\a=-3\\b=2\end{matrix}\right.\)
Vậy với a = -3; b = 2 thì \(x^3+ax+b\) chia hết cho \(x^2+x-2\) , thương là x - 1
Ta có : \(\left(x^3+ax+b\right)⋮\left(x^2+x-2\right)\)
Gọi ( x+k) là thương của đa thức trên .Ta có :
\(\left(x^3+ax+b\right)=\left(x+k\right)\left(x^2+x-2\right)\)
\(=>x^3+ax+b=x^3+kx^2+x^2+kx-2x-2k\)
\(=>x^3+ax+b=x^3+x^2\left(k+1\right)+x\left(k-2\right)-2k\)
Đồng nhất các hệ số ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}k+1=0\\k-2=a\\b=\left(-2k\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\left(-1\right)\\a=\left(-3\right)\\b=2\end{matrix}\right.\)
Vậy : a= (-3) : b= 2
Gọi đa thức thương là \(Q_{\left(x\right)}\)
Để \(x^3+ax+b⋮x^2+x-2\)
thì \(x^3+ax+b=\left(x^2+x-2\right)Q_{\left(x\right)}\)
\(=\left(x+2\right)\left(x-1\right)Q_{\left(x\right)}\)
Đẳng thức trên luôn đúng \(\forall x\)
nên lần cho \(x=-2;x=1\)
\(\text{Ta được : }\left\{{}\begin{matrix}1+a+b=0\\-8-2a+b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-1\\b-2a=8\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left(b-2a\right)-\left(a+b\right)=8-\left(-1\right)\\ \Rightarrow-3a=9\\ \Rightarrow a=-3\\ \Rightarrow b-3=-1\\ \Rightarrow b=2\)
Vậy để \(x^3+ax+b⋮x^2+x-2\)
thì \(a=-3;b=2\)