Violympic toán 8

LH

với các số a,b,c,d là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)

NL
21 tháng 6 2019 lúc 12:37

Đặt vế trái là P, áp dụng AM-GM cho từng cặp:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\) ; \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) ; \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\) ; \(\frac{d^2}{a+d}+\frac{a+d}{4}\ge d\)

Cộng vế với vế:

\(P+\frac{a+b+c+d}{2}\ge a+b+c+d\Rightarrow P\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Bình luận (0)
H24
21 tháng 6 2019 lúc 19:08

Thử cách em xem sao?

\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{4\left(a+b\right)}\ge0\) (đúng)

"=" <=> a = b = c

Bình luận (1)
MS
21 tháng 6 2019 lúc 7:51

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
QN
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
CC
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
Y
Xem chi tiết
NN
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
LT
Xem chi tiết