cho a,b,c>0 . Cmr: \(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
(sử dụng AM-GM)
Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
b) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ; với a,b ≥ 0
c) a4+b4 ≥ a3b + ab3
d) a4+3 ≥ 4a
e) a3+b3+c3 ≥ 3abc ; với a,b,c > 0
f) \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) ; với a,b ≠ 0
g) \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) ; với ab ≥ 1
h) (a5+b5)(a+b) ≥ (a4+b4)(a2+b2) ; với ab > 0
Chứng minh các bất đẳng thức :
Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :
Bài 5:
a) Cho x>0, y>0 và m, n là hai số thực. Chứng minh rằng\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\)≥\(\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)
b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1.
Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)≥\(\frac{3}{2}\)
1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016]= x-2017
2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: \(a+\frac{2020}{b}=b+\frac{2020}{c}=c+\frac{2020}{a}\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2=2020^3\)
3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: \(\left(a+b+c\right)\times\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
5. Cho a >0, b >0, c >0. Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c= 3. Chứng minh:\(\frac{a}{ab+b^3}+\frac{b}{bc+c^3}+\frac{c}{ca+a^3}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Cmr:
\(\frac{a^2}{a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{b^2+\left(a+c\right)^2}+\frac{c^2}{c^2+\left(a+b\right)^2}\ge\frac{3}{5}\)
Cho a, b, c> 0 và abc =1. Chứng minh: \(\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
chứng minh \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)với a,b,c>0
