\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên trái
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên phải
2/\(H=\left(x^2+y^2+1-2x+2y-2xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2019\)
\(H=\left(x-y-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2019\ge2019\)
\(H_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh: \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
Câu 1: Cho A=\(\frac{x-y}{x+y}\):B=\(\frac{y-z}{y+z}\);C=\(\frac{z-x}{z+x}\)
Chứng minh rằng (1+A)(1+B)(1+C)=(1-A)(1-B)(1-C)
Câu 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=\(x^2+2y^2-2xy+4x-2y+2021\)
Cho a,b,c,d >0. Chứng minh rằng:
\(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
với các số a,b,c,d là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
a, Cho a,b>0 , CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
b. Cho a,b,c,d > 0. CMR: \(\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\ge0\)
cho a,b,c>0 . Cmr: \(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
(sử dụng AM-GM)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của:
a, \(A=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\)
b, \(B=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\)
c, \(C=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
d, \(D=a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2+2020\)
Cho các số thực dương a ; b; c . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
D=\(\frac{a^3+2}{ab+13}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)
Cho a, b, c ≠ 0 thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2021\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\end{matrix}\right.\) . Chứng minh: \(\frac{1}{a^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}}\)