Bài 6 :
a) Phân tích đa thức P(x) =\(48x^3-8x^2-5x+1\) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng \(6x^3-x^2\) ≥ \(\frac{5x-1}{8}\) với mọi số thực x không âm
c) Cho a , b , c , d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 1 . Chứng minh rằng :
\(6\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\) ≥ \(\frac{1}{8}\)
\(P\left(x\right)=48x^3-24x^2+3x+16x^2-8x+1\)
\(=3x\left(16x^2-8x+1\right)+16x^2-8x+1\)
\(=\left(3x+1\right)\left(16x^2-8x+1\right)\)
\(=\left(3x+1\right)\left(4x-1\right)^2\)
b/ \(\Leftrightarrow48x^3-8x^2\ge5x-1\)
\(\Leftrightarrow48x^3-8x^2-5x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(4x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{1}{4}\)
c/ Bạn chắc là ghi đề sai
Đặt vế trái là P
\(a^3+a^3+\frac{1}{64}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^6}{64}}=\frac{3}{4}a^2\)
\(\Rightarrow6a^3+\frac{3}{64}\ge\frac{9}{4}a^2\)
Tương tự ta có: \(6b^3+\frac{3}{64}\ge\frac{9}{4}b^2\) ; \(6c^3+\frac{3}{64}\ge\frac{9}{4}c^2\) ; \(6d^2+\frac{3}{64}\ge\frac{9}{4}d^2\)
Cộng vế với vế:
\(6\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+\frac{12}{64}\ge\frac{9}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
\(\Rightarrow P=6\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\frac{12}{64}\)
Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+d\right)^2-\frac{12}{64}=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
