\(\overrightarrow{CB}=\left(4;-1\right)\)
Đường cao AH vuông góc BC nên nhận \(\left(4;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AH: \(4\left(x-0\right)-1\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow4x-y-3=0\)
b/ \(\overrightarrow{CA}=\left(1;-5\right)\) , gọi M là trung điểm AC \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
Phương trình trung trực d của AC:
\(1\left(x+\frac{1}{2}\right)-5\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-5y-2=0\)
Đường tròn qua A;C nên I thuộc d \(\Rightarrow\) I là giao điểm d và trục hoành có tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-5y-2=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(-2;-3\right)\Rightarrow R=IA=\sqrt{13}\)
Phương trình đường tròn: \(\left(x-2\right)^2+y^2=13\)
c/ Phương trình BC: \(1\left(x-3\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+4y-7=0\)
H là giao điểm AH và BC nên có tọa độ thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-y-3=0\\x+4y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{19}{17};\frac{25}{17}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(\frac{19}{17};\frac{76}{17}\right)\Rightarrow AH=\frac{19\sqrt{17}}{17}\) ; \(BC=\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{17}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{19}{2}\)