Để P là số nguyên dương thì x^2-4x>=0 và x^2-4x chia hết cho x^2+2
=>x^2+2-4x-2 chia hết cho x^2+2 và (x>=4 hoặc x<=0)
=>-4x-2 chia hết cho x^2+2 và (x>=4 hoặc x<=0)
=>4x+2 chia hết cho x^2+2 và (x>=4 hoặc x<=0)
=>16x^2-4 chia hết cho x^2+2 và (x>=4 hoặc x<=0)
=>16x^2+32-36 chia hết cho x^2+2 và (x>=4 hoặc x<=0)
=>\(x^2+2\in\left\{2;3;4;6;9;12;18;36\right\}\) và (x>=4 hoặc x<=0)
=>\(x\in\left\{0;4;\sqrt{34};-\sqrt{34};-1;-\sqrt{2};-2;-\sqrt{7};-\sqrt{10};-4\right\}\)
Khi đề yêu cầu P nguyên mà ko có điều kiện x nguyên thì phương pháp tốt nhất luôn là tìm miền giá trị của P từ đó lọc ra những số nguyên rồi tìm ngược lại x
\(P=\dfrac{x^2-4x}{x^2+2}=\dfrac{-\left(x^2+2\right)+2x^2-4x+2}{x^2+2}=-1+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge-1\)
\(P=\dfrac{2\left(x^2+2\right)-x^2-4x-4}{x^2+2}=2-\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\le2\)
\(\Rightarrow-1\le P\le2\)
Mà \(P\) nguyên dương \(\Rightarrow P=\left\{1;2\right\}\)
- Với \(P=1\Rightarrow\dfrac{x^2-4x}{x^2+2}=1\Rightarrow-4x=2\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
- Với \(P=2\Rightarrow\dfrac{x^2-4x}{x^2+2}=2\Rightarrow x^2+4x+4=0\Rightarrow x=-2\)
Vậy \(x=\left\{-2;-\dfrac{1}{2}\right\}\)