Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\left(x;y\ne0\right)\)

Answer 1

\(A=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^4}{x^2y^2}+\frac{y^4}{x^2y^2}\ge\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2x^2y^2}\)

\(A\ge\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=3\)

\(\Rightarrow A_{min}=3\) khi \(x^2=y^2=1\)