\(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
\(A=\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{x^2y^2}=\frac{\left(xy+x+y+1\right)xy}{x^2y^2}\)
\(=\frac{xy+2}{xy}=1+\frac{2}{xy}\ge1+2.4=9\)
\(A_{min}=9\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{x\left(x^2+y^2\right)}\)
Cho hai số dương x,y thoả mãn \(x\left(x^3+y^3\right)+6xy\left(x+y-2\right)=\left(x+y\right)^2\left(xy+4\right)\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\)
1. Cho biểu thức Q=\(\frac{\sqrt{x-\sqrt{4\left(x-1\right)}}+\sqrt{x+\sqrt{4\left(x-1\right)}}}{\sqrt{x^2-4\left(x-1\right)}}.\left(1-\frac{1}{x-1}\right)\)
a) Tìm ĐK của x để Q có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức Q.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M=\(\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
3. CMR nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)
với x≠y, yz≠1, xz≠1, x≠0, y≠0, z≠0
thì \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
cho hai số dương x,y có x+y=1
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
Cho hai số dương x,y thoả mãn \(x\left(x^3+y^3\right)+6xy\left(x+y-2\right)=\left(x+y\right)^2\left(xy+4\right)\)
Tìm giái trị nhỏ nhất của biểu thức
T=\(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\)
Với hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(T=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}}+\frac{4}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Cho hai số dương x,y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
1/Cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{2}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-1}\)
Tính giá trị biểu thức M=\(\frac{a^{2017}+b^{2018}+c^{2019}}{a^{2017}b^{2018}c^{2019}}\)
2/Cho x,y,z≠0 và x+y+z=2008
Tính giá trị biểu thức P=\(\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)