hãy xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) \(y=\frac{x}{x+1}\) trên\(\left(-\infty;1\right)\)và\(\left(-1;\infty\right)\)
b) \(y=\frac{2x+3}{-x+2}\) trên\(_{\left(-\infty;2\right)}\)và\(\left(2;+\infty\right)\)
c) \(y=x^2+2x+1\) trên\(\left(-\infty;-1\right)\)và\(\left(-1;\infty\right)\)
d) \(y=-x^2+2x+5\) trên\(\left(-\infty;1\right)\) và\(\left(1;+\infty\right)\)
a/ ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
Giả sử x1> x2
\(\Rightarrow f\left(x_1\right)=\frac{x_1}{x_1+1};f\left(x_2\right)=\frac{x_2}{x_2+1}\)
Có \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1}{x_1+1}-\frac{x_2}{x_2+1}\)
\(=\frac{x_1x_2+x_1-x_1x_2-x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+2\right)}=\frac{x_1-x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)
Xét trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1>0\\x_2+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\)
Có \(x_1>x_2\Rightarrow x_1-x_2>0\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\)
=> hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;1\right)\)
làm tương tự trên khoảng \(\left(-1;+\infty\right)\)
b/ \(ĐKXĐ:x\ne2\)
Giả sử x1> x2
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2x_1+3}{2-x_1}-\frac{2x_2+3}{2-x_2}\)
\(=\frac{4x_1-2x_1x_2+6-3x_2-4x_2+2x_1x_2-6+3x_1}{\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)}\)
\(=\frac{7x_1-7x_2}{\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)}\)
Xét trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x_1>0\\2-x_2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)>0\)
Có \(x_1>x_2\Rightarrow7x_1-7x_2>0\)
\(\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\)
=> hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)
làm tương tự trên \(\left(2;+\infty\right)\)
c/ Có \(-\frac{b}{2a}=-1\)
Mà a=1>0 => hàm số đồng biến trên \(\left(-1;+\infty\right)\) , nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\)
d/ \(-\frac{b}{2a}=1\)
Mà a= -1>0 => hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;1\right)\) , nghịch biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
