Question

Giải phương trình nghiệm nguyên:

\(5x^3=3^y+317\) (với yϵN )

Answer 1

Xét \(y=0\) thì \(5x^3=318\) không có x nguyên thỏa.\

Xét \(y=1\) thì \(5x^3=320\)

\(\Rightarrow x=4\)

Xét \(y>1\)

\(\Rightarrow5x^3-5=3^y+312\)

\(\Leftrightarrow5\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=3\left(3^{y-1}+104\right)\)

Với x chia hết cho 3 thì \(5\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\) không chia hết cho 3.

Với x chia cho 3 dư 1 thì \(5\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)chia hết cho 9 nhưng \(3\left(3^{y-1}+104\right)\) không chia hết cho 9.

Với x chia 3 dư 2 thì \(5\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\) không chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) Với \(y>1\) không tồn tại giá trị x, y nguyên thỏa bài toán

Vậy giá trị cần tìm là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)