a) x2 + 1 = 2y (1)
+) y = 0, thay (1) ta được: x2 + 1 = 20 = 1
=> x2 = 0 => x = 0 (TM)
+) y = 1, thay vào (1) ta được: x2 + 1 = 21 = 2
=> x2 = 1; x \(\in N\) nên x = 1 (TM)
+) y \(\ge2\) thì 2y chẵn và 2y chia hết cho 4 (*)
x2 lẻ => x2 chia 4 dư 1 => 2y = x2 + 1 chia 4 dư 2, mâu thuẫn với (*)
Vậy (x;y)=(0;0); (x;y)=(1;1)
b) x2 = 4y + 5 (2)
+) y = 0 không thỏa mãn x \(\in N\)
+) y = 1, thay vào (2) ta được: x2 = 41 + 5 = 9
\(x\in N\) nên x = 3 (TM)
+) \(y\ge2\) thì 4y chẵn và 4y + 5 chia 8 dư 5 (-)
x2 lẻ => 4y + 5 = x2 chia 8 dư 1, mâu thuẫn với (-)
Vậy (x;y)=(3;1)
c) 5x3 = 3y + 317 (3)
Ta thấy 3y + 317 = 5x3 tận cùng là 0 hoặc 5
=> 3y tận cùng là 3 hoặc 8
3y lẻ nên 3y tận cùng là 3 => y = 4k + 1 (k \(\in N\))
+) k = 0 thì y = 1, thay vào (3) được: 5x3 = 31 + 317 = 320
=> x3 = 64 => x = 4 (TM)
+) k \(\ge1\)
Ta có: \(3^{4k+1}=81^k.3\equiv1.3\left(mod16\right)\equiv3\left(mod16\right)\)
317 \(\equiv13\left(mod16\right)\)
Do đó, \(5x^3=3^y+317=3^{4k+1}+317⋮16\)
Mà (5;16)=1 nên \(x^3⋮16\)\(\Rightarrow x⋮4\Rightarrow3^y+317=5x^3⋮32\)
317 chia 32 dư 29 nên 81k.3 = 3y chia 32 dư 3
\(\Rightarrow81^k⋮32\), vô lý vì 81k lẻ \(\forall k\in N\)
Vậy (x;y)=(4;1)