Lời giải:
a) Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2^y=x^2+1\in\mathbb{Z}\Rightarrow y\geq 0\)
+) \(y=0\Rightarrow x^2+1=1\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0\)
+) \(y=1\Rightarrow x^2+1=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)
+) \(y\geq 2\Rightarrow x^2+1\equiv 0\pmod 4\) \((1)\)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia 4 chỉ có thể có dư là \(0,1\), do đó \(x^2+1\) chia 4 có thể dư $1$ hoặc $2$ (mâu thuẫn với \((1)\) )
Vậy \((x,y)=(0,0),(\pm 1,1)\)
b) Tương tự như phần a , dễ thấy \(y\geq 0\)
\(x^2=4^y+5=(2^y)^2+5\)
\(\Leftrightarrow 5=(x-2^y)(x+2^y)\) . Vì \(x-2^y< x+2^y\) nên xét 2TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} x-2^y=1\\ x+2^y=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=1\end{matrix}\right.\)
TH2; \(\left\{\begin{matrix} x-2^y=-5\\ x+2^y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \((x;y)=(\pm 3;1)\)
Câu c)
Dễ thấy \(y\geq 0\) để đảm bảo \(3^y+317=5x^3\in\mathbb{Z}\)
Xét \(y=0\Rightarrow 5x^3=318\Rightarrow x\not\in\mathbb{Z}\)
Xét \(y=1\Rightarrow 5x^3=320\Rightarrow x=4\)
Xét \(y\geq 2\Rightarrow 5x^3-317=3^y\vdots 9(1)\)
Nhận xét: Một số lập phương $x^3$ chia $9$ chỉ có thể dư $0,1,8$
Thật vậy:
\(\bullet x\equiv 0\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 0\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 1\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 1^3\equiv 1\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 2\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 2^3\equiv 8\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 3\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 3^3\equiv 0\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 4\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 4^3\equiv 1\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 5\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 5^3\equiv 8\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 6\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 6^3\equiv 0\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 7\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 7^3\equiv 1\pmod 9\)
\(\bullet x\equiv 8\pmod 9\Rightarrow x^3\equiv 8^3\equiv 8\pmod 9\)
Do đó ta có đpcm.
Như vậy: \(x^3\equiv 0,1,8\pmod 9\Rightarrow 5x^3-317\equiv 7,3,2\pmod 9\), tức là \(5x^3-317\not\vdots 9(2)\)
Từ $(1),(2)$ ta thấy ngay mâu thuẫn.
Vậy \((x,y)=(4,1)\)