1) ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x-3\ne0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne3\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}+x^2-4x+5=0\)
=> \(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}+\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2=0\)
- Đặt \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)=a\) ta được phương trình :
\(\frac{1}{a}+a+2=0\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a}+\frac{2a}{a}=0\)
=> \(1+a^2+2a=0\)
=> \(\left(a+1\right)^2=0\)
=> \(a+1=0\)
- Thay \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)=a\) vào phương trình ta được :
\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)+1=0\)
=> \(x^2-x-3x+3+1=0\)
=> \(x^2-4x+4=0\)
=> \(\left(x-2\right)^2=0\)
=> \(x-2=0\)
=> \(x=2\) ( TM )
Vậy phương trình trên có nghiệm là \(S=\left\{2\right\}\)
2) Ta có : \(\left(x^2+x+1\right)^2-2x^2-2x=5\)
=> \(\left(x^2+x+1\right)^2-2x^2-2x-2=3\)
=> \(\left(x^2+x+1\right)^2-2\left(x^2+x+1\right)=3\)
- Đặt \(a=x^2+x+1\) ta được phương trình :\(a^2-2a=3\)
=> \(a^2-2a+1=4\)
=> \(\left(a-1\right)^2=4\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}a-1=2\\a-1=-2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}a-3=0\\a+1=0\end{matrix}\right.\)
- Thay \(a=x^2+x+1\) ta được phương trình :
\(\left[{}\begin{matrix}x^2+x+1-3=0\\x^2+x+1+1=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x^2+x-2=0\\x^2+x+2=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=0\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{7}{4}\left(VL\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình trên có nghiệm là \(S=\left\{1,-2\right\}\)