a)
\((x-3)(x-5)(x-6)(x-10)=24x^2\)
\(\Leftrightarrow [(x-3)(x-10)][(x-5)(x-6)]=24x^2\)
\(\Leftrightarrow (x^2-13x+30)(x^2-11x+30)=24x^2\)
Đặt \(x^2-11x+30=a\). PT trở thành:
\((a-2x)a=24x^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ax-24x^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-6ax+4ax-24x^2=0\)
\(\Leftrightarrow a(a-6x)+4x(a-6x)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+4x)(a-6x)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+4x=0\\ a-6x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x^2-7x+30=0\\ x^2-17x+30=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} (x-3,5)^2+17,75=0(\text{vô lý})\\ (x-15)(x-2)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=15\) hoặc $x=2$
b)
Đặt \(x-7=a\). PT trở thành:
\((a+1)^4+(a-1)^4=272\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^3+6a^2+4a+1+a^4-4a^3+6a^2-4a+1=272\)
\(\Leftrightarrow 2a^4+12a^2+2=272\)
\(\Leftrightarrow a^4+6a^2-135=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+3)^2-144=0\Leftrightarrow (a^2+3)^2-12^2=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+15)(a^2-9)=0\)
\(\Rightarrow a^2-9=0\Rightarrow a=\pm 3\)
\(\Rightarrow x=a+7=\left[\begin{matrix} 4\\ 10\end{matrix}\right.\)
c)
\(x^4-3x^3+2x^2-9x+9=0\)
Ta để ý tổng các hệ số bằng $0$ nên có một nghiệm bằng $1$
Vậy ta thực hiện tách hợp lý:
\(\Leftrightarrow (x^4-x^3)-(2x^3-2x^2)-(9x-9)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3(x-1)-2x^2(x-1)-9(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x^3-2x^2-9)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[(x^3-3x^2)+x^2-9]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[x^2(x-3)+(x-3)(x+3)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x-3)(x^2+x+3)=0\)
Dễ thấy \(x^2+x+3=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}\geq 0+\frac{11}{4}>0\) với mọi $x$
Do đó: \((x-1)(x-3)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=3\end{matrix}\right.\)