\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^2+x+1}\le0\left(x\ne-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+1-x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+1}\le0\left(x^2+x+1>0\forall x\in R\right)\)(*)
Nghiệm của $x^2$ là $0$
Nghiệm của $x+1$ là $-1$
Ta có BXD:
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $0$ | $+\infty$ | |
| $VT(*)$ | $-$ | $||$ | $+$ | $0$ | $+$ |
KL: Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=(-\infty;-1) \cup {0}$
Chắc đề là thế này:
\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^2+x+1}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x+1}\ge\frac{1}{x+1}\)
Do \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0;\forall x\)
- Nếu \(x< -1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT>0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng
- Nếu \(x>-1\) hai mẫu số đều dương, nhân chéo ta được:
\(\Leftrightarrow x+1\ge x^2+x+1\Leftrightarrow x^2\le0\Rightarrow x=0\)
Vậy nghiệm của BPT đã cho là: \(\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x=0\end{matrix}\right.\)