a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có
AE chung
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)
Do đó: ΔACE=ΔAKE
b: Ta có: ΔABC vuông tại C
=>\(\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=90^0\)
=>\(\widehat{CBA}+60^0=90^0\)
=>\(\widehat{CBA}=30^0\)
AE là phân giác của gócCAB
=>\(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=30^0\)
Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)
nên ΔEAB cân tại E
=>EA=EB
mà EA>AC(ΔACE vuông tại C)
nên EB>AC
c: Ta có: ΔEAB cân tại E
mà EK là đường cao
nên K là trung điểm của AB
=>AK=KB
mà AK=AC(ΔACE=ΔAKE)
và AC=CM
nên KB=CM
Ta có: ΔACE=ΔAKE
=>EC=EK
Xét ΔECM vuông tại C và ΔEKB vuông tại K có
EC=EB
CM=KB
Do đó: ΔECM=ΔEKB
=>\(\widehat{CEM}=\widehat{KEB}\)
mà \(\widehat{KEB}+\widehat{CEK}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{CEM}+\widehat{CEK}=180^0\)
=>M,E,K thẳng hàng
a) Ta có góc AEC = góc AKC (vì AE // AK và CE là tia phân giác của góc BAC) và góc CAE = góc KAE (vì tam giác ACE vuông tại C và tam giác AKE vuông tại K). Ngoài ra, góc ACE = góc AKE = 90 độ (vì tam giác ACE và tam giác AKE đều vuông tại C và K).
Vậy, theo góc - cạnh - góc, ta có tam giác ACE và tam giác AKE đồng dạng (cùng có một góc vuông và góc A là góc không nằm giữa hai cạnh).
b) So sánh EB và AC:
Trong tam giác vuông ABC, ta có: ����=13BCAC=31 và từ tam giác AKE, ta có: ����=����=13EKAK=BCAC=31 Do đó, ��=13��AK=31EK.
Với tam giác vuông AKE, ta có: ��=��⋅3=13��⋅3=13��=13��EK=AK⋅3=31EK⋅3=31AK=31AC
Vậy, ��=13��EK=31AC.
Trong tam giác vuông ABC, ta có: ��=��−��=��−��=��−3��=(1−3)��EB=BC−EC=BC−AC=BC−3BC=(1−3)BC
Vậy, ����=(1−3)����=1−3ACEB=BC(1−3)BC=1−3
c) Chứng minh điểm M, E, K thẳng hàng:
Gọi M là điểm trên tia đối của CA sao cho AC = CM. Khi đó, ta có tam giác ACM là tam giác đều.
Vì tam giác ACM đều nên góc CAM = góc ACM = 60 độ.
Như vậy, góc CAE = góc CAM = 60 độ. Nhưng EK vuông góc với AB nên góc CAE cũng bằng 60 độ.
Vậy, ta có góc CAE = góc CAM = góc EKM = 60 độ, nên điểm M, E, K thẳng hàng.