Question

CMR: b) Biểu thức B=\(\sqrt{1+2014^2+\dfrac{2014^2}{2015^2}}+\dfrac{2014}{2015}\) có giá trị là một số nguyên

Answer 1

Với \(\forall a\in N\left(a\ne0\right)\cdot\),ta có:\(\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(a^2+2a+1\right)+a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right)^2+2a\left(a^2+1\right)+a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+a+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a^2+a+1}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1\in Z\)(Vì a là số tự nhiên)

Thay a=2014 vào thì ta có: B=2014+1=2015 là số nguyên