Ta thấy : \(a^2\ge0\forall a\)
=> \(a^2+2\ge2\forall a\)
Mà \(\sqrt{a^2+1}>0\)
=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) ( đpcm )
\(\begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\forall a\in \mathbb{R} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+1 \right)-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0 \text{(luôn đúng)} \\ \end{align} \)
CÁCH KHÁC:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
\(\dfrac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1+1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\sqrt{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{a}^{2}}+1}.\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}}=2\left( dpcm \right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$a^2+2=(a^2+1)+1\geq 2\sqrt{a^2+1}$
$\Rightarrow \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{2\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=2$
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a^2+1=1\Leftrightarrow a=0$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{\left(a^2+2\right)^2}{a^2+1}\ge4\) (Do \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}>0\forall a\in R\))
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Vậy ta có đpcm.
