Giả sử hình thang ABCD có AB // CD
Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED và AD = BE
Ta có: CD – AB = CD – ED = EC (1)
Trong \(\Delta EBC\) ta có:
BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác)
Mà BE = AD
Suy ra: AD + BC > EC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD + BC > CD – AB
+ Xét hình thang ABCD ( AB//CD, AB < CD )
Cần CM : AD + BC > CD - AB
+ Kẻ AE // BC \(\left(E\in CD\right)\)
+ Tứ giác ABCE có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB//CE\\AE//BC\end{matrix}\right.\)
=> Tứ giác ABCE là hình bình hành
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CE\\AE=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD-AB=DE\\AD+BC=AD+AE\end{matrix}\right.\)
+ Xét ΔADe ta có : AD + AE > DE
=> AD + BC > CD - AB