\(=\left[\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}:\left(1+\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}}\right)\right]+\left[\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}:\left(1-\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}\right)\right]\)
\(=\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}:\dfrac{2+\sqrt{3}+1}{2}\right)+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}:\dfrac{2-\sqrt{3}+1}{2}\right)\)
\(=\dfrac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)
\(=1\)
Cho các biểu thức:
A= \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}\)
B= \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}}\)
a. Trục căn ở mẫu biểu thức \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
b. Tính giá trị của A
c. Chứng minh rằng B>8
chứng minh đẳng thúc
\(\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}-\dfrac{6}{\sqrt{7}-2}-\dfrac{\sqrt{7}-5}{2}=4+\sqrt{11}-3\sqrt{7}\)
Chứng minh các đẳng thức sau :
a) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{6}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=-1,5\)
b) \(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2\)
c) \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\) với a, b dương và \(a\ne b\)
d) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\) với \(a\ge0\) và \(a\ne1\)
\(\left(\dfrac{1}{a+\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}\right):\dfrac{1\sqrt{4}}{a+2\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{4}}\)
chứng minh đẳng thức
Chứng minh: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{ }n}\)
Từ đó áp dụng tính \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\)
1)Thực hiện phép tính : A=\(\dfrac{2}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\) \(B=\left(\dfrac{5+2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^2-\left(\dfrac{5-2\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)^2\)
2)Cho biểu thức : \(P=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\)
a.Rút gọn P
Chứng minh đẳng thức:
a) \(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=\sqrt{xy}\left(x\ge0,y\ge0,x^2+y^2\ne0\right)\)
b) \(\left(\dfrac{1}{a-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\dfrac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\left(a\ge0,a\ne1\right)\)
c) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-2}-1}\left(\sqrt{x-2}-1\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{3}\left(x\ge2,x\ne3\right)\)
Rút gọn biểu thức
A=\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
Bài 1: Cho A = \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)
So sánh A với 1
Bài 2: Tính
A = \(\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{14}{2\sqrt{2}-1}-\dfrac{4}{2-\sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{8}+2\right)\)
Bài 3: Tính tổng
S=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}}\)
