Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-1-x\) với \(x\ge0\)
Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1\ge0\) với mọi \(x\ge0\)
và : \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến với \(x\ge0\) nên với \(x\ge0\Leftrightarrow f\left(x\right)\ge f\left(0\right)=0\)
hay \(e^x-1-x\ge0\) với mọi \(x\ge0\)Chứng minh bất đẳng thức sau :
\(e^x\ge1+x+\frac{x^2}{2}+.....+\frac{x^n}{n!}\) với mọi \(x\ge0;n\in N\)
Chứng minh bất đẳng thức sau :
\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\) với \(a\ge1;b\ge1\)
Chứng minh bất đẳng thức sau :
\(\log_ab\ge\log_{a+c}\left(b+c\right)\) với \(1< a\le b\) và \(c\ge0\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\log_ab\ge\log_{a+c}b\) với \(a,b>1\) và \(c\ge0\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge3\sqrt[3]{abc}\) với a,b,c dương khác 1
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\log_a\left(a+1\right)>\log_{a+1}\left(a+2\right)\) với \(0< a\ne1\)
Tìm m để hàm số sau xác định với mọi \(x\in R\)
\(y=\ln\left(\frac{x^2-mx+1}{x^2-x+1}-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{x^2-mx+1}{x^2-x+1}}\)
\(\ln\left(1+x\right)< x\) với mọi \(x>0\)