Ta có :
\(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\Rightarrow a^{\log_bc}+c^{\log_ab}=c^{\log_ba}+c^{\log_ab}\ge2\sqrt{c^{\log_ba}.c^{\log_ab}}=2\sqrt{c^{\log_ba+\log_ab}}\) (1)
Vì \(a,b>1\) nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm \(\log_ba\) và \(\log_ab\), ta được :
\(\log_ab+\log_ba\ge2\sqrt{\log_ab.\log_ba}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^{\log_bc}+b^{\log_ab}\ge2\sqrt{c^2}=2c\)
hay \(\Rightarrow a^{\log_bc}+c^{\log_ab}\ge2c\)
Chứng minh tương tự ta được :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}\ge2a\)
\(b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge2b\)
\(\Rightarrow2\left(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
hay :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge a+b+c\) (*)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2*)
Từ (*) và (2*) ta có :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge3\sqrt[3]{abc}\)