Question

Cho x,y > 0  và x+y+xy = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x²+y²

Answer 1

Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)

Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)

Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)

\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2

Vậy Min A = 8 tại x = y = 2

Answer 2

Ta có:

\(x^2+y^2=\)

\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)

\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)

\(\Rightarrow P\ge8\)

Dấu = khi \(x=y=2\)

Vậy MinP=8 khi x=y=2