Question

Cho x là một số hữu tỉ khác 0, còn y là một số vô tỉ. Chứng minh P=xy là một số vô tỉ.

Answer 1

`x` là số hữu tỉ đặt: \(x=\dfrac{a}{b}\left(a,b\in Z\right)\)

Giả sử: `xy=z` với z là số hữu tỉ nên ta đặt: \(z=\dfrac{c}{d}\left(c,d\in Z\right)\)

`=>y=z/x` là số hữu tỉ vì \(\dfrac{z}{x}=\dfrac{c}{d}:\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{b}{a}=\dfrac{bc}{ad}\)

Mà: `a,b,c,d∈Z=>bc∈Z;ad∈Z=>z/x∈Q` 

`=>y∈Q` 

`=>` Trái với giá thuyết y là số vô tỉ 

Vậy z là số vô tỉ hay `xy` là số vô tỉ 

Answer 2

Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ.

Suy ra y = z –x ta có z hữu tỉ, x hữu tỉ thì z – x là một số hữu tỉ

Hay y  ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy x + y là số vô tỉ

Giả sử z = x.y là một số hữu tỉ

Suy ra y = z : x mà x ∈ Q, z ∈ Q

Suy ra y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy xy là số vô tỉ