cho tam giác nhọn abc có bc = 2ab. gọi d là trung điểm của đoạn thẳng bc. từ d kẻ tia dx//ab và từ a kẻ tia ay//bc sao cho tia dx cắt tia ay tại e.
a, cmr tứ giác abde là hình thoi
b, cmr tứ giác aecd là hbh và be vuông góc ce
c, gọi o là giao điểm của be và ad, k là giao điểm của de và oc, j là giao điểm của bk và ec. cmr je=jc
d, gọi i là giao điểm của bk và od. cm: 4io = ad
a) Ta có Dx//AB(gt)
nên DE//AB
Ta có: Ay//BC(gt)
nên AE//BD
Xét tứ giác ABDE có AE//BD(cmt) và DE//AB(cmt)
nên ABDE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: \(AB=\frac{BC}{2}\)(Vì BC=2AB)
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)(D là trung điểm của AB)
nên AB=BD=DC
Hình bình hành ABDE có AB=BD(cmt)
nên ABDE là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Ta có: ABDE là hình thoi(cmt)
⇒AE=AB(hai cạnh trong hình thoi ABDE)
mà AB=DC(cmt)
nên AE=DC
Ta có: Ax//BC(gt)
nên AE//DC
Xét tứ giác AECD có AE//CD(cmt) và AE=CD(cmt)
nên AECD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AEDB là hình thoi(cmt)
nên AB=DE(hai cạnh trong hình thoi AEDB)
mà \(AB=\frac{BC}{2}\)(BC=2AB)
nên \(DE=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔEBC có
ED là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(D là trung điểm của BC)
\(DE=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔEBC vuông tại E(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
⇒BE⊥CE(đpcm)