Cho tam giác MNP cân tại M , I là trung điểm của NP
a) Tìm hai tam giác bằng nhau và giải thích ?
b) Chứng minh MI là tia phân giác của góc NMP.
c) Chứng minh MI vuông góc với NP.
d) Chứng minh MI là đường trung trực của NP.
e) Từ I vẽ IH vuông góc với MN ( H thuộc MN ) , vẽ IK vuông góc với MP ( K thuộc MP ). Chứng minh IK=IH.
g) Chứng minh HK // NP.
a) Ta có : \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\) do :
\(\left\{{}\begin{matrix}MN=MP\left(\text{Tam giác MNP cân tại M}\right)\\MI:Chung\\NI=PI\left(\text{I là trung điểm của NP}\right)\end{matrix}\right.\)
b) Từ : \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{NMI}=\widehat{PMI}\) (2 góc tương ứng)
=> MI là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\)
c) Từ \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}\) (2 góc tương ứng)
Mà : \(\widehat{MIN}+\widehat{MIP}=180^o\left(kềbù\right)\)
=> \(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(MI\perp NP\rightarrowđpcm\)
d) Xét \(\Delta HNI,\Delta KPI\) có :
\(\widehat{HNI}=\widehat{KPI}\) (\(\Delta MNP\) cân tại M)
\(IN=IP\) (I là trung điểm của NP)
\(\widehat{NHI}=\widehat{PKI}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta HNI=\Delta KPI\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> IK = IH (2 cạnh tương ứng)
g) Từ \(\Delta HNI=\Delta KPI\left(cmt\right)\)
=> \(HN=KP\) (2 cạnh tương ứng)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}MN=MP\left(\text{Tam giác MNP cân tại M }\right)\\HN=KP\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}MN=MH+HN\\MP=MK+KP\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(MN-HN=MP-KP\)
\(\Leftrightarrow MH=MK\)
=> \(\Delta MHK\) cân tại M
Ta có : \(\widehat{MHK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta MNP\) cân tại M có :
\(\widehat{MNP}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{MHK}=\widehat{MNP}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị.
=> HK // PN
=> đpcm.