Question

cho tam giác ABCD cân tại A, AH là đường cao. M,N lần lượt là trung điểm AB,AC

a/ Chứng minh BMNC là hình thang cân

b/ Gọi K là đối xứng H qua N. Chứng minh AKCH là hình bình hành

Chứng minh AKHB là hình bình hành

c/ Chứng minh MN, AH, BK đồng quy

Answer 1

a) Xét ΔABC có

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(AM=AN;AB=AC\right)\)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

Xét tứ giác BMNC có MN//BC(gt)

nên BMNC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BMNC(MN//BC) có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)

nên BMNC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b) Xét tứ giác AKCH có 

N là trung điểm của đường chéo HK(gt)

N là trung điểm của đường chéo AC(Gt)

Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: AHCK là hình bình hành(cmt)

nên AK//HC và AK=HC(1)

Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK//BH và AK=BH

Xét tứ giác AKHB có 

AK//BH(cmt)

AK=BH(cmt)

Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)