a,
Vì H đối xứng với M qua AB
⇒ AB là đường trung trực của HM
⇒ MH ⊥ AB
⇒ ME ⊥ AB
⇒ \(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}=90^0\)
Vì K đối xứng với M qua AC
⇒ AC là đường trung trực của MK
⇒ MK ⊥ AC
⇒ MF ⊥ AC
⇒ \(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}=90^0\)
Vì ΔABC vuông tại A
⇒ \(\widehat{BAC}=90^0\)
⇒ \(\widehat{EAF}=90^0\)
Tứ giác AEMF có \(\widehat{E_2}=\widehat{F_2}=\widehat{EAF}=90^0\)
⇒ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (đpcm)
Vì ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
⇒ M là trung điểm của BC
⇒ AM = MB = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC
Vì AB là đường trung trực của HM
mà AB Ω HM = {E}
⇒ E là trung điểm của HM
Vì ΔABC vuông tại A
⇒ AB ⊥ AC
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB ⊥ AC}\\\text{ME ⊥ AB}\end{matrix}\right.\)⇒ AC // ME
Xét ΔABC có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AC // ME}\\\text{M là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ E là trung điểm của AB
Tứ giác AMBH có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AB, MH}\\\text{ E là trung điểm của HM}\\\text{E là trung điểm của AB}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác AMBH là hình bình hành
mà AB ⊥ MH
⇒ Tứ giác AMBH là hình thoi (đpcm)
Vì AC là đường trung trực của KM
mà AC Ω KM = {F}
⇒ F là trung điểm của KM
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB ⊥ AC}\\\text{MF ⊥ AC}\end{matrix}\right.\)⇒ AB // MF
Xét ΔABC có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB // MF}\\\text{M là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ F là trung điểm của AC
Tứ giác AMCK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AC, MK}\\\text{ F là trung điểm của AC}\\\text{F là trung điểm của MK}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác AMCK là hình bình hành
mà AC ⊥ MK
⇒ Tứ giác AMCK là hình thoi (đpcm)
b, Vì AB là đường trung trực của MH
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AH}\\\text{BM = BH}\end{matrix}\right.\)
Vì AC là đường trung trực của MK
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AK}\\\text{CM = CK}\end{matrix}\right.\)
Như vậy
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AH}\\\text{AM = AK}\end{matrix}\right.\)
⇒ AH = AK (1)
Vì tứ giác AMBH là hình thoi
⇒ AH // MB
⇒ AH // BC
Vì tứ giác AMCK là hình thoi
⇒ AK // MC
⇒ AK // BC
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AH // BC}\\\text{AK // BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ H, A, K thằng hàng (tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho : đường thẳng HK đi qua điểm A và song song với BC) (2)
Từ (1), (2) ⇒ H đối xứng với K qua A (đpcm)
c, Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật
mà để tứ giác AEMF là hình vuông
⇒ AF = AE (2 cạnh kề bằng nhau)
Vì F là trung điểm của AC ⇒ AF = \(\dfrac{1}{2}\)AC
Vì E là trung điểm của AB ⇒ AE = \(\dfrac{1}{2}\)AB
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AF = AE}\\\text{ AF = }\dfrac{1}{2}\text{ AC }\\\text{AE = }\dfrac{1}{2}\text{AB}\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\dfrac{1}{2}\)AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC
⇒ AB = AC
⇒ ΔABC cân tại A
Mà ΔABC vuông tại A
⇒ ΔABC vuông cân tại A
Vậy để tứ giác AEMF là hình vuông thì ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A
(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!@@@