Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm nằm trên BC. Điểm E đối xứng với M qua AC. ME cắt AC tại P. Q là hình chiếu của M trên AB. AE cắt MQ tại F.

a) AM=PQ.

b) CMR: : F đối xứng với M qua Q 

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Lời giải:

a. $E$ đối xứng với $M$ qua $AC$ 

$\Rightarrow AC$ là trung trực của $ME$

$\Rightarrow AC\perp ME$ tại trung điểm $P$ của $ME$

$\Rightarrow \widehat{P}=90^0$

Tứ giác $MQAP$ có 3 góc $\widehat{A}=\widehat{Q}=\widehat{P}=90^0$ nên là hcn 

$\Rightarrow AM=PQ$

b.

$AP\perp ME$

$QM\perp ME$ (do $AQMP$ là hcn)

$\Rightarrow AP\parallel QM$

$\Rightarrow AP\parallel FM$

Áp dụng định lý Talet:

$\frac{AP}{FM}=\frac{EP}{EM}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2AP=FM=FQ+QM$

Mà $AP=QM$ (do $AQMP$ là hcn)

$\Rightarrow 2AP=FQ+AP\Rightarrow AP=FQ$

$\Rightarrow QM=FQ$

Ta thấy $FM\perp AB$ tại $Q$ mà $FQ=QM$ nên $F,M$ đối xứng nhau qua $Q$

Answer 3

b, MQAP là hcn⇒MP=AQ

Mà MP=PE⇒PE=AQ

MQAP là hcn⇒QM=AP

Xét ΔAPE và ΔFQA có:

\(\widehat{APE}=\widehat{AQE}\left(=90^o\right)\)

PE=AQ(cmt)

\(\widehat{PEA}=\widehat{QAF}\left(2.góc.đồng.vị\right)\)

⇒ΔAPE = ΔFQA (g.c.g)

⇒ AP=FQ (2 cạnh tương ứng)

Mà AP=QM⇒FQ=QM

Mà AQ⊥FM⇒F đối xứng với M qua Q