Trên AB lấy điểm D sao cho \(\widehat{ADC}=60^o\)
Xét tam giác BDC ta có:\(\widehat{DBC}=\widehat{ADC}=60^o\)
Vậy tam giác BDC là tam giác đều
\(\Rightarrow BD=BC=CD=10(1)\)
Mà CA là đường cao nên CA cũng đồng thời là đường trung tuyến
\(\Rightarrow AB=AD=\frac{BD}{2}(2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(AB=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow 10^2=5^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-5^2=75cm\)
\(\Leftrightarrow AC=5\sqrt{3}\)
b)Gọi O là giao điểm của MN và AB
Ta có NB và MB là phân giác ngoài và phân giác trong của góc ABC
Nên:\(\widehat{NBM}=90^o \)
Xét tứ giác BNAM ta có
\(\widehat{NBM}=90^o\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{ANB}=90^o\)
\(\Rightarrow \widehat{NAM}=90^o\)
Vậy tứ giác BNAM là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)O là trung điểm của BA và NM
\(\Rightarrow AO=BO=NO=MO;AB=NM\)
Do đó tam giác MOB cân
\(\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{OBM}=30^o\)
Mà \(\widehat{OBM}=\widehat{MBC}\)(BM là đường phân giác của góc ABC)
\(\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{MBC}\)
Mà hai góc này ở vị trí solo trong nên: MN//BC
