a) Để chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc trong của nó bằng 90 độ.
Ta có:
- AD là đường cao của tam giác ABC, nên AEDF là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu AE = DF.
- AE là hình chiếu của D lên AB, nên AE = DD' (với D' là hình chiếu của D lên AB).
- DF là hình chiếu của D lên AC, nên DF = DD'' (với D'' là hình chiếu của D lên AC).
Vậy để chứng minh AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh DD' = DD''.
Ta có tam giác DDD' và tam giác DDD'' là hai tam giác vuông có cạnh chung DD'. Vì vậy, ta có:
- DD' = DD'' (cạnh huyền của hai tam giác vuông bằng nhau)
- Góc DDD' = Góc DDD'' = 90 độ (góc vuông)
Vậy tam giác DDD' và tam giác DDD'' là hai tam giác vuông cân có cạnh chung DD'. Do đó, ta có DD' = DD''.
Vậy AE = DF, tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Ta cần chứng minh A, I, D thẳng hàng.
Vì I là trung điểm của EF, nên AI là đường trung bình của tam giác AEF. Do đó, ta có AI song song với đường cao DD' của tam giác ABC.
Vì AEDF là hình chữ nhật, nên AE song song với DF. Khi đó, ta có AI song song với EF.
Vậy ta có AI song song với cả DD' và EF. Do đó, A, I, D thẳng hàng.
Vậy ta đã chứng minh được A, I, D thẳng hàng.