Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC. AH cắt EF tại O. CMR: 

1. AE.AB=AF.AC

2.AH^2 = AE.AB+AF.AC

3.AH^3 = BH.HE.HF

4.HB.HC=4 OE.OF

5. \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)

6. \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)

7. \(\sqrt{EH.EB}+\sqrt{FH.FC}=\sqrt{AH.BC}\)

Answer 1

1: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

2: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)

4: \(4\cdot OE\cdot OF=2OE\cdot2OF=FE\cdot AH=AH^2\)

\(HB\cdot HC=AH^2\)

Do đó: \(4\cdot OE\cdot OF=HB\cdot HC\)