Cho tam giác ABC vông tại A, AM là trung tuyến. Biết AB=6cm, AC = 8cm
a) Tính độ dài cạnh BC và AM
b) Từ M kẻ MD vuông góc với AB. Tứ giác ADMC là hình gì? Vì sao?
c) trên tia đối tia DM, lấy điểm E sao cho DM =DE. Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi
d) Tứ giác AEMC là hình gì? vì sao?
e) Gọi F là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng tỏ rằng F đối xứng với E qua điểm A
ADMC là hình thang vuông:
Ta có: MD // AC ( cùng ⊥ AB)
=> ADMC là hình thang
Mặt khác có \(\widehat{ADM}=\widehat{DAC}=90^0\)
=> ADMC là hình thang vuông
c) ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến
=> MA=MB=MC
=> ΔMAB cân tại M
Xét ΔMAB cân tại M có MD là đường cao
=> MD cũng là đường trung tuyến
=> DB=DA
Xét tứ giác AEBM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}DE=DM\left(gt\right)\\DA=DB\left(cmt\right)\\AB\perp EM\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> AEBM là hình thoi ( tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau)
c) Ta có AEBM là hình thoi ( cm ở câu b)
=> AE=BM và AE//BM ( Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành)
mà MB=MC (gt)
=> AE// MC và AE=MC
=> AEMC là hình bình hành (Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.)
e) Gọi giao điểm của MF và AC là I
Vì F là điểm đối xứng với M qua AC nên MF ⊥ AC và IM= IF
-Xét ΔAMF có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
=> ΔAMF cân tại A
=> AM=AF (1)
-Xét ΔAME có AD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
=> ΔAME cân tại A
=> AM = AE (2)
Từ (1) và (2) => AE=AF
Vậy F là điểm đối xứng với E qua điểm A