Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AK, BF, CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a, Nếu M và H đối xứng với nhau qua K thì M thuộc (O)
b, Nếu D và H đối xứng với nhau qua I thì D € (O).
c, OA vuông góc EF ( 2 cách)
d, H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác KEF.
e, Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo K.
a: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ABC+90 độ-góc ACB
=180 độ-(góc ABC+góc ACB)
=góc BAC
=>góc BHC=180 độ-góc BAC
H đối xứng M qua BC
=>BH=BM và CH=CM
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
HC=MC
BC chung
=>ΔBHC=ΔBMC
=>góc BMC=góc BHC
=>góc BMC+góc BAC=180 độ
=>ABMC nội tiếp
=>M thuộc (O)
c: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>góc xAC=góc ABC=góc AFE
=>FE//AX
=>OA vuông góc FE
d: góc BEH+góc BKH=180 độ
=>BEHK nội tiếp
góc CKH+góc CFH=180 độ
=>CKHF nội tiếp
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc EKH=góc EBH
góc FKH=góc FCE
mà góc EBH=góc FCE
nên góc EKH=góc FKH
=>KH là phân giác của góc EKF(1)
góc FEH=góc KAC
góc KEH=góc FBC
mà góc KAC=góc FBC
nên góc FEH=góc KEH
=>EH là phân giác của góc FEK(2)
Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔKEF