Cho tam giác ABC nhọn(AB<AC) nột tiếp đường tròn O ,hai đường cao BE,CF cắt nhau tại H.Tia AO cắt đường tròn O tại D
a) Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn
b)Chứng minh AF.AB=AE.AC và góc AFE = góc ACB
c) Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>B,F,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
b: Ta có: BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)
mà \(\widehat{BFE}+\widehat{AFE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
Xét ΔAFE và ΔACB có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAFE~ΔACB
=>\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)
c: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại K
Gọi I là trung điểm của AH
=>I là tâm đường tròn đường kính AH
Vì ΔAEH vuông tại E
nên ΔAEH nội tiếp (I)
M là trung điểm của BC
=>M là tâm đường tròn đường kính BC
=>B,F,E,C cùng thuộc (M)
\(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{MEB}\)
\(=\widehat{IHE}+\widehat{MBE}\)
\(=\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^0\)
=>IE\(\perp\)EM
=>ME là tiếp tuyến của (I)